Equazioni di grado superiore al secondo

Obiettivo (corso Analisi Matematica 1)

Ricerca degli zeri di polinomi
Legge di annullamento del prodotto per i polinomi
Teorema delle radici razionali
Teorema del resto / Ruffini
Teorema fondamentale dell'algebra e sua conseguenza
Prodotti notevoli

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Indice degli esempi

Calcolare gli zeri di

$P(x) = (x^2-2) \cdot (x^2+1) = x^4 - x^2 - 2$
$P(x) = 3 x^3 - 2 x^2 - 6 x + 4$
$P(x) = (x^2-2) \cdot (x^2-3) = x^4 - 5x^2+6$
$P(x) = x^3-8x+3$
$P(x)=2 x^4 - x^3 - 5 x^2 - 2 x$
$P(x) = x^4 -x^2 -2$

Ingredienti principali per la ricerca degli zeri di polinomi

Legge di annullamento del prodotto
Teorema fondamentale dell'algebra
- fattorizzare tutto in termini di equazioni del I e II grado
Teorema delle radici razionali
- come cercare le radici razionali
Teorema del resto / Ruffini
- per la valutazione di un possibile zero
- riduzione di grado

1: Legge di annullamento del prodotto

Se $a$, $b$ sono due numeri tali che $a\cdot b=0$ , allora $a=0$ o $b=0$

Nei polinomi si ha

Se $${P{(x)} \cdot Q{(x)}=0}$$ allora $${P{(x)} = 0}\quad\text{ o }\quad {Q{(x)}=0}$$

Esempio 1

Gli zeri di $$ {P(x) = (x^2-2) \cdot (x^2+1) = x^4 - x^2 - 2} $$ sono dati applicando la legge dell'annullamento del prodotto:

$x^2-2 = 0 \implies x = \pm\sqrt{2}$
$x^2+1 = 0 \implies \left\{\emptyset\right\}$

2: Teorema fondamentale dell'algebra e sua conseguenza

Ogni polinomio di grado $n\geqslant 1$ ammette almeno una radice (o zero) complessa.

Nota: Cosa sono i numeri complessi lo vedremo più avanti!

Ogni polinomio di grado $n\geqslant 1$ a coefficienti reali si può scomporre nel prodotto di fattori reali di I o II grado

Obiettivo

Fattorizzare tutto in termini di equazioni del I e II grado per poter applicare la legge di annullamento del prodotto

3: Teorema delle radici razionali

Dato il polinomio $P(x) = a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_{0}=0$ a coefficienti in $\mathbb{R}$ (interi)

se esiste una radice razionale, essa è della forma $p/q$ dove:

$p$ è un divisore di $a_{0}$ (costante), e

$q$ è un divisore di $a_{n}$ (coefficiente direttore), e

Nota:

Nessuna informazione su eventuali radici irrazionali o complesse
Tutte le radici possono essere irrazionali

Esempio 2 (presenza di radici razionali)

Le eventuali radici razionali di ${P(x) = 3 x^3 - 2 x^2 - 6 x + 4}$ con

$a_3 = 3$ con divisori $\left\{\pm1,\ \pm3\right\}$
$a_0 = 4$ con divisori $\left\{\pm1,\ \pm2,\ \pm4\right\}$

sono da ricercare nell'insieme ($p/q$ con $p$ divisore di $a_{0}$ e $q$ divisore di $a_{n}$) $$ \left\{\pm1,\ \pm{1\over3},\ \pm2,\ \pm{2\over3},\ \pm4, \pm{4\over3} \right\} $$

Si trova che $x=2/3$ è radice, infatti sostituendo, si ha: $$ 3 \left({2\over3}\right)^3 - 2 \left({2\over3}\right)^2 - 6 \left({2\over3}\right) + 4 = {8\over9} - {8\over9} - 4 + 4 = 0 $$

Esempio 3 (nessuna radice razionale)

Il polinomio $$ {P(x) = (x^2-2) \cdot (x^2-3) = x^4 - 5x^2+6} $$ con

$a_4 = 1$ con divisori $\left\{\pm1\right\}$
$a_0 = 6$ con divisori $\left\{\pm1,\ \pm2,\ \pm3,\ \pm6\right\}$

non ha radici razionali.

Infatti, le radici di $P(x)$ sono

$x^2-2 = 0 \implies x = \pm\sqrt{2}$
$x^2-3 = 0 \implies x = \pm\sqrt{3}$

Le eventuali radici razionali sarebbero da ricercare nell'insieme $\left\{\pm1,\ \pm2,\ \pm3,\ \pm6\right\}$

4: Teorema del resto / Ruffini

Un polinomio $P(x)$ è divisibile per $(x-a)$ sse il resto è nullo e quindi $P(a)=0$

Nota:

La verifica della divisibilità per $(x-a)$ diventa la valutazione del polinomio in $x=a$, i.e. $P(a)=0$
Nota la radice $a$ possiamo fattorizzare il polinomio, e quindi ottenere un polinomio di grado inferiore su cui ripetere il procedimento

Esempio 4 (con riduzione di grado)

Le radici razionali di $${P(x) = x^3-8x+3}$$ sono da ricercare in $$\left\{\pm1,\ \pm3\right\}$$

Verifica:

$x=1 \implies 1-8+3=-4$
$x=-1 \implies -1+8+3=10$
$x=3 \implies 27-24+3=6$
$x=-3 \implies -27+24+3=0 \implies \big(x-(-3)\big)$ divide $P(x)$

Con Ruffini si ha $$ \begin{array}{c|c c c|c} &+1& 0& -8& +3\\ -3& & -3& +9& -3\\ \hline &+1& -3& +1& 0\\ \end{array} $$ da cui $P(x) = x^3-8x+3 = \big(x-(-3)\big) \cdot (x^2-3x+1)$

Le radici di $x^2-3x+1=0$ sono: $$ x_{1,2} = {+3 \pm \sqrt{9-4 \cdot 1 \cdot 1} \over 2} = {3\pm\sqrt{5}\over 2} $$

A titolo di esempio, eseguiamo la divisione tra i due polinomi

$P(x)=x^3-8x+3$ e
$x-(-3)=x+3$

$$ \begin{array}{r r r r|r r r} x^3 & & -8x & +3 & x & +3 & \\ \hline -x^3 & -3x^2& & & x^2& -3x & +1 \\\hline // & -3x^2& -8x & +3 & & & \\ & +3x^2& +9x & & & & \\ \hline & // & x & +3 & & & \\ & & -x & -3 & & & \\ \hline & & //& // & & & \\ \end{array} $$

Esempi

Esempio 5

Calcolare gli zeri e la fattorizzazione di $${P(x)=2 x^4 - x^3 - 5 x^2 - 2 x}$$

Soluzione

Applicando la legge dell'annullamento del prodotto a $$ 2 x^4 - x^3 - 5 x^2 - 2 x = x\left(2x^3 - x^2 - 5 x - 2\right) $$ si ha che $x=0$ è uno zero.

Gli zeri razionali di $P_1{(x)} = 2x^3 - x^2 - 5 x - 2$ sono da ricercare in $\left\{\pm1,\ \pm2,\ \pm{1\over 2}\right\}$

per $x=1 \implies P_1{(1)} = 2 - 1 - 5 -2 = -6$
per $x=-1 \implies P_1{(-1)} = -2 - 1 + 5 -2 = 0 \implies \big(x-(-1)\big)$ divide $P_1{(x)}$

Dividendo con Ruffini si ha $$ \begin{array}{c|c c c|c} &+2& -1& -5& -2\\ -1& & -2& 3& 2\\ \hline &+2& -3& -2& 0\\ \end{array} \quad \implies\quad 2x^3 - x^2 - 5 x - 2 = (x+1)\left(2x^2-3x-2\right) $$

Gli zeri di $2x^2-3x-2=0$ sono $$ x_{1,2} = {3 \pm \sqrt{9+16} \over 4} = {3 \pm 5 \over 4} = \left\{2,\ -{1\over2}\right\} $$ con la fattorizzazione $$ 2x^2-3x-2= 2(x-2)\left(x+{1\over2}\right) $$

La fattorizzazione di $P(x)$ è $$2x(x+1)(x-2)\left(x+{1\over2}\right)$$

Esempio 6 (con sostituzione di variabile)

Risolvere (eq. biquadratica) $${P(x) = x^4 -x^2 -2 = 0}$$

Soluzione

Posto $t=x^2$ l'equazione diventa $t^2 -t-2=0$, i.e. $$ t_{1,2} = {1\pm\sqrt{1+8}\over 2} = {1\pm3\over 2} = \left\{2,\ -1\right\} $$

Se $t=2 \implies \left.x^2=t\right|_{t=2} \implies x_{1,2} = \pm\sqrt{2}$
Se $t=-1 \implies \left.x^2=t\right|_{t=-1} \implies x = \left\{\emptyset\right\}$

Prodotti notevoli

I prodotti notevoli possono essere utili nel fattorizzare le equazioni polinomiali.

Quadrato perfetto: $a^2\pm 2ab + b^2 = (a\pm b)^2$
- $x^4-2x^2+1 = (x^2-1)^2$
Differenza tra quadrati: $a^2-b^2 = (a-b)(a+b)$
- $x^4-4 = (x^2)^2-(2)^2 = (x^2-2)(x^2+2)$
Somma / differenza tra cubi: $a^3\pm b^3 = (a\pm b)(a^2\mp ab +b^2)$
- $x^3-1 = (x-1)(x^2+x+1)$
- $x^3+1 = (x+1)(x^2-x+1)$
Fattore quadratico irriducibile: $a^2+b^2$ è irriducibile (non si può scomporre)
- $x^4+1 = 0$ non ha soluzioni
- $-x^6-1 = -(x^6+1) = -((x^3)^2+(1)^2) = 0$ non ha soluzioni

Curiosità

La dimostrazione "più facile" del teorema fondamentale dell'algebra è basata sull'analisi complessa con il teorema di Liouville

L'analisi complessa è un terzo corso di Matematica

Come si calcolano le radici di un polinomio?

Si trasforma il problema in un problema agli autovalori!

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