Esercizi sul principio di induzione - parte 4
Indice esercizi (corso Analisi Matematica 1)
Usando il principio di induzione dimostrare che
- ${1\over 1 \cdot 3} + {1\over 3 \cdot 5} + \cdots + {1\over (2n-1) \cdot (2n+1)} = {n\over 2n+1}$
- $\left(1+{1\over 1}\right) \cdot \left(1+{1\over 2}\right) \cdot \cdots \cdot \left(1+{1\over n}\right)=n+1$ (esempio con produttoria)
- $\sqrt[n]{n}\leqslant 2-{1\over n}$ per ogni $n\geqslant 1$ (usare la disugl. di Bernoulli)
Sia data la successione di Fibonacci: $$ 1,1,2,3,5,8,\ldots $$ dove $f_1=1$, $f_2=1$ e $f_{n+1}=f_{n}+f_{n-1}$ dimostrare che
- $f_1+f_2+\cdots + f_n = f_{n+2}-1$
- $f_1^2+f_2^2+\cdots + f_n^2 = f_n\cdot f_{n+1}$
- $f_n\geqslant \left({3\over 2}\right)^{n-2}$
Esercizi
Esercizio 1
Usando il principio di induzione dimostrare che $${{1\over 1 \cdot 3} + {1\over 3 \cdot 5} + \cdots + {1\over (2n-1) \cdot (2n+1)} = {n\over 2n+1}}$$ per ogni $n\in\mathbb{N}$ e $n\geqslant1$
Soluzione
L'espressione può essere riscritta come
$$ \sum\limits_{k=1}^{n} {1\over (2k-1) \cdot (2k+1)} = {n\over 2n+1} $$
Soluzione (passo base)
Per $n=1$ si ha
- $\sum\limits_{k=1}^{1} {1\over (2k-1) \cdot (2k+1)} = {1\over (2\cdot 1-1) \cdot (2\cdot 1+1)} = {1\over 1 \cdot 3} = {1\over 3}$
- ${1\over 2 \cdot1 +1} = {1\over 3}$
che sono uguali
Soluzione (passo induttivo)
$$\begin{aligned} \sum\limits_{k=1}^{n+1} {1\over (2k-1) \cdot (2k+1)} &= \sum\limits_{k=1}^{n} {1\over (2k-1) \cdot (2k+1)} + {1\over (2n+1) \cdot (2n+3)}\\ &\color{white}{\text{(passo induttivo)}}\\ &={n\over 2n+1} + {1\over (2n+1) \cdot (2n+3)} = {n(2n+3)+1\over (2n+1) \cdot (2n+3)}\\ &= {2n^2+3n+1\over (2n+1) \cdot (2n+3)} = {(2n+1)(n+1)\over (2n+1) \cdot (2n+3)}\\ &= {(n+1)\over (2n+3)} \end{aligned}$$
Esercizio 2
Usando il principio di induzione dimostrare che $${\left(1+{1\over 1}\right) \cdot \left(1+{1\over 2}\right) \cdot \cdots \cdot \left(1+{1\over n}\right)=n+1}$$ per ogni $n\in\mathbb{N}$ e $n\geqslant1$
Soluzione
L'espressione può essere riscritta come
$$ \prod\limits_{k=1}^{n} \left(1+{1\over k}\right) = n+1 $$
Soluzione (passo base)
Per $n=1$ si ha
- $\prod\limits_{k=1}^{1} \left(1+{1\over k}\right) = 1+{1\over 1} = 2$
- $1+1 = 2$
che sono uguali
Soluzione (passo induttivo)
$$\begin{aligned} \prod\limits_{k=1}^{n+1} \left(1+{1\over k}\right) &= \prod\limits_{k=1}^{n} \left(1+{1\over k}\right) \cdot \left(1+{1\over n+1}\right)\\ &\color{white}{\text{(passo induttivo)}}\\ &=(n+1) \cdot \left(1+{1\over n+1}\right)\\ &= (n+1) + 1\\ &= n+2 \end{aligned}$$
Esercizio 3
Usando il principio di induzione dimostrare che $${\sqrt[n]{n}\leqslant 2-{1\over n}}$$ per ogni $n \geqslant 1$
Soluzione
Si utilizza la disugualianza di Bernoulli
$$ (1+x)^{n}\geqslant 1+nx\quad\forall n\in\mathbb{N},\; x\in\mathbb{R},\ x>-1 $$
Riscriviamo la disugualianza
$$ \sqrt[n]{n}\leqslant 2-{1\over n} $$
come
$$ \sqrt[n]{n} \leqslant 1 + {n-1\over n} $$
Ora, ponendo $$x={n-1\over n}$$ si ha $x>-1$ e quindi vale
$$ \left(1 + {n-1\over n}\right)^n \geqslant 1+n\cdot{n-1\over n} = n $$
$$ \left(1 + {n-1\over n}\right)^n \geqslant n $$
Essendo la radice $n$-esima una funzione crescente si ha (applichiamo la radice ad ambo i membri)
$$ 1 + {n-1\over n} \geqslant \sqrt[n]{n} \;\iff\; \sqrt[n]{n} \leqslant 1 + {n-1\over n} = 2-{1\over n} $$
Esercizio 4
Sia data la successione di Fibonacci $f_1=1$, $f_2=1$ e $f_{n+1}=f_{n}+f_{n-1}$, i.e. $$1,1,2,3,5,8,\ldots$$ dimostrare che $${f_1+f_2+\cdots + f_n = f_{n+2}-1}$$
Soluzione
L'espressione può essere riscritta come
$$ \sum\limits_{k=1}^{n}f_{k} = f_{n+2}-1 $$
Soluzione (passo base)
Per $n=1$ si ha
- $\sum\limits_{k=1}^{1}f_{k} = f_1 = 1$
- $f_{1+2}-1 = 2-1=1$
che sono uguali
Soluzione (passo induttivo)
$$\begin{aligned} \sum\limits_{k=1}^{n+1}f_{k} &= \sum\limits_{k=1}^{n}f_{k} + f_{n+1}\\ &\color{white}{\text{(passo induttivo)}}\\ &=f_{n+2}-1 + f_{n+1}\\ &= \left(f_{n+2}+f_{n+1}\right) - 1\\ &= f_{n+3}-1 \end{aligned}$$
Esercizio 5
Sia data la successione di Fibonacci $f_1=1$, $f_2=1$ e $f_{n+1}=f_{n}+f_{n-1}$, i.e. $$1,1,2,3,5,8,\ldots$$ dimostrare che $${f_1^2+f_2^2+\cdots + f_n^2 = f_n\cdot f_{n+1}}$$
Soluzione
L'espressione può essere riscritta come
$$ \sum\limits_{k=1}^{n}f_{k}^2 = f_n\cdot f_{n+1} $$
Soluzione (passo base)
Per $n=1$ si ha
- $\sum\limits_{k=1}^{1}f_{k}^2 = f_1^2 = 1^2=1$
- $f_{1}\cdot f_{2} = 1\cdot 1=1$
che sono uguali
Soluzione (passo induttivo)
$$\begin{aligned} \sum\limits_{k=1}^{n+1}f_{k}^2 &= \sum\limits_{k=1}^{n}f_{k}^2 + f_{n+1}^2\\ &\color{white}{\text{(passo induttivo)}}\\ &=f_n\cdot f_{n+1} + f_{n+1}^2\\ &= f_{n+1} \cdot \left(f_{n}+f_{n+1}\right) \\ &= f_{n+1} \cdot f_{n+2} \end{aligned}$$
Esercizio 6
Sia data la successione di Fibonacci $f_1=1$, $f_2=1$ e $f_{n+1}=f_{n}+f_{n-1}$, i.e. $$1,1,2,3,5,8,\ldots$$ dimostrare che $${f_n\geqslant \left({3\over 2}\right)^{n-2}}$$
Soluzione (passo base)
Per $n=1$ si ha
$$ f_1\geqslant \left({3\over 2}\right)^{1-2} \;\iff\; 1 \geqslant \left({3\over 2}\right)^{-1} \;\iff\; 1 \geqslant {2\over 3} $$
che è verificata
Soluzione (passo induttivo)
$$\begin{aligned} f_{n+1} &= f_{n} + f_{n-1}\\ &\color{white}{\text{(passo induttivo)}}\\ &\geqslant \left({3\over 2}\right)^{n-2} + \left({3\over 2}\right)^{n-3}\\ &\color{white}{\text{(evidenziamo l'esponente $(n-1)$)}}\\ &= \left({3\over 2}\right)^{n-1}\left[\left({3\over 2}\right)^{-1}+\left({3\over 2}\right)^{-2}\right] \;=\; \left({3\over 2}\right)^{n-1}\left[{2\over 3}+{4\over 9}\right]\\ &= \left({3\over 2}\right)^{n-1}\underbrace{\left({10\over 9}\right)}_{>1} \;\geqslant\; \left({3\over 2}\right)^{n-1} \end{aligned}$$
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