Esercizi sul principio di induzione - parte 2
Indice esercizi (corso Analisi Matematica 1)
Usando il principio di induzione dimostrare che
- ${1\over 1\cdot 2}+{1\over 2\cdot 3}+\cdots +{1\over n\cdot (n+1)}={n\over n+1}$
- $1\cdot 1! + 2\cdot 2! + \cdots + n\cdot n! = (n+1)! - 1$
- $1\cdot2\cdot3 + 2\cdot3\cdot4 + \cdots + n(n+1)(n+2) = \frac{n(n+1)(n+2)(n+3)}{4}$
- $1^2-2^2+3^2-\cdots+(-1)^{n-1}n^2 = (-1)^{n-1}\,\frac{n(n+1)}{2}$
- ${n \choose 0} + {n \choose 1} + \cdots + {n \choose n} = 2^{n}$
Esercizi
Esercizio 1
Dimostrare per induzione che $${{1\over 1\cdot 2}+{1\over 2\cdot 3}+\cdots +{1\over n\cdot (n+1)}={n\over n+1}}$$
Soluzione (passo base)
Per $n=1$ si ha $${1\over 1\cdot 2}={1\over 1+1} = {1\over 2}$$
Soluzione (passo induttivo)
Si ha
$$\begin{aligned} \sum\limits_{k=1}^{n+1} {1\over k(k+1)} &= \sum\limits_{k=1}^{n} {1\over k(k+1)} + {1\over (n+1)(n+2)}\\ &= {n\over n+1} + {1\over (n+1)(n+2)}\\ &= {n(n+2)+1\over (n+1)(n+2)} \;=\; {n^2+2n+1\over (n+1)(n+2)} \;=\; {(n+1)^2\over (n+1)(n+2)} \\ &= {(n+1)\over(n+2)} \end{aligned}$$
Esercizio 2
Dimostrare per induzione che $${1\cdot 1! + 2\cdot 2! + \cdots + n\cdot n! = (n+1)! - 1}$$
Soluzione (passo base)
Per $n=1$ si ha $$1\cdot 1! = 1 \quad =\quad 2! - 1 = 2-1 = 1$$
Soluzione (passo induttivo)
Si ha
$$\begin{aligned} \sum\limits_{k=1}^{n+1} {k \cdot k!} &= \sum\limits_{k=1}^{n} {k \cdot k!} + (n+1)\cdot (n+1)!\\ &= (n+1)! - 1 + (n+1)\cdot (n+1)! \\ &= (n+1)! \left(1 + n+1 \right) -1 \\ &= (n+2)(n+1)! -1 \\ &= (n+2)! -1 \end{aligned}$$
Esercizio 3
Dimostrare per induzione che $${1\cdot2\cdot3 + 2\cdot3\cdot4 + \cdots + n(n+1)(n+2) = \frac{n(n+1)(n+2)(n+3)}{4}}$$
Soluzione (passo base)
Per $n=1$ si ha $$1\cdot2\cdot3 = 6 \quad = \quad \frac{1(1+1)(1+2)(1+3)}{4} = \frac{2\cdot 3\cdot 4}{4} = 6$$
Soluzione (passo induttivo)
Si ha
$$\begin{aligned} \sum\limits_{k=1}^{n+1} k(k+1)(k+2) &= \sum\limits_{k=1}^{n} k(k+1)(k+2) + (n+1)(n+2)(n+3)\\ &= \frac{n(n+1)(n+2)(n+3)}{4} + (n+1)(n+2)(n+3)\\ &= (n+1)(n+2)(n+3) \left({n\over 4}+1\right) \\ &= \frac{(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)}{4} \end{aligned}$$
Esercizio 4
Dimostrare per induzione che $${1^2-2^2+3^2-\cdots+(-1)^{n-1}n^2 = (-1)^{n-1}\,\frac{n(n+1)}{2}}$$
Soluzione (passo base)
Per $n=1$ si ha $$1^2 = 1 \quad = \quad (-1)^0\frac{1(1+1)}{2} = {2\over2} = 1$$
Soluzione (passo induttivo)
Si ha
$$\begin{aligned} \sum\limits_{k=1}^{n+1} (-1)^{k-1}k^2 &= \sum\limits_{k=1}^{n} (-1)^{k-1}k^2 + (-1)^{n}(n+1)^2 \\ &= (-1)^{n-1}\,\frac{n(n+1)}{2} + (-1)^{n}(n+1)^2 \\ &= (-1)^{n}(n+1) \left( (-1){n\over 2}+(n+1) \right)\\ &= (-1)^{(n+1)-1}(n+1) \left( {n\over 2}+1 \right)\\ &= (-1)^{(n+1)-1} \frac{(n+1)(n+2)}{2} \end{aligned}$$
Esercizio 5
Dimostrare per induzione che $${{n \choose 0} + {n \choose 1} + \cdots + {n \choose n} = 2^{n}}$$
Premessa
L'espressione da dimostrare si può riscrivere come
$$\sum\limits_{k=0}^{n}{n \choose k} = 2^{n}\quad \forall n\in\mathbb{N}$$
Soluzione (passo base)
Per $n=0$ si ha $\sum\limits_{k=0}^{0}{0 \choose 0} = 1 = 2^{0}$
Soluzione (passo induttivo)
$$\begin{aligned} \sum\limits_{k=0}^{n+1}{n+1 \choose k} &= \sum\limits_{k=1}^{n+1}{n \choose k-1} + \sum\limits_{k=0}^{n}{n \choose k}\\ &= \sum\limits_{l=0}^{n}{n \choose l} + \sum\limits_{k=0}^{n}{n \choose k}\\ &= 2^{n} + 2^{n} = 2 \cdot 2^{n} = 2^{n+1} \end{aligned}$$
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