Esercizi sul principio di induzione - parte 1

Indice esercizi (corso Analisi Matematica 1)

Usando il principio di induzione dimostrare che

1. Somma dei primi $n+1$ numeri dispari vale $\sum\limits_{k=0}^{n}(2k+1)=(n+1)^2$
2. $\sum\limits_{k=0}^{n}k^3 = {n^2(n+1)^2\over 4}$
3. $\sum\limits_{k=0}^{n}2^{-k} = 2 - 2^{-n}$
4. $6^{n}-1$ è divisibile per $5$
5. Il prodotto di tre numeri interi consecutivi è divisibile per $6$

Esercizi

Esercizio 1

Usando il principio di induzione dimostrare che la somma dei primi $n+1$ numeri dispari è il quadrato di un numero naturale e vale $${\sum\limits_{k=0}^{n}(2k+1)=(n+1)^2}$$

Soluzione (passo base)

Per $n=0$ si ha $$\sum\limits_{k=0}^{0}1 = 1 = (0+1)^2 = 1$$

Soluzione (passo induttivo)

$$\begin{aligned} \sum\limits_{k=0}^{n+1}(2k+1)&=\sum\limits_{k=0}^{n}(2k+1)+(2(n+1)+1) \\ &= (n+1)^2 + 2(n+1) + 1 \\ &= \big((n+1)+1\big)^2 \\ &= (n+2)^2\end{aligned}$$

Esercizio 2

Usando il principio di induzione dimostrare che $${\sum\limits_{k=0}^{n}k^3 = {n^2(n+1)^2\over 4}}$$

Soluzione (passo base)

Per $n=0$ si ha

$$\sum\limits_{k=0}^{0}k^3 = 0 \;=\; {0^2(0+1)^2\over 4}=0$$

Soluzione (passo induttivo)

$$\begin{aligned} \sum\limits_{k=0}^{n+1}k^3 &= \sum\limits_{k=0}^{n}k^3 + (n+1)^3 = {n^2(n+1)^2\over 4} + (n+1)^3\\ &= (n+1)^2\left({n^2\over 4}+(n+1)\right) = (n+1)^2\left({n^2+4n+4\over 4}\right)\\ &= {(n+1)^2(n+2)^2\over 4}\\ \end{aligned}$$

Esercizio 3

Usando il principio di induzione dimostrare che $${\sum\limits_{k=0}^{n}2^{-k} = 2 - 2^{-n}}$$

Soluzione (passo base)

Per $n=0$ si ha

$$\sum\limits_{k=0}^{0}2^{-k} = 2 ^0 = 1 \;=\; 2 - 2^{-0} = 2-1=1$$

Soluzione (passo induttivo)

$$\begin{aligned} \sum\limits_{k=0}^{n+1}2^{-k} &= \sum\limits_{k=0}^{n}2^{-k} + 2^{-(n+1)}\\ &= 2 - 2^{-n} + 2^{-(n+1)}\\ &= 2 - 2^{-n} \left(1 - {1\over2}\right)\\ &= 2 - 2^{-n} 2^{-1} = 2 - 2^{-n-1} \\ &= 2 - 2^{-(n+1)} \end{aligned}$$

Esercizio 4

Dimostrare per induzione che ${6^{n}-1}$ è divisibile per ${5}$

Soluzione (passo base)

Per $n=1$ si ha $6-1=5$ divisibile per 5

Soluzione (passo induttivo)

$6^{n+1}-1 = 6 \cdot 6^{n}-1 = 6^{n}-1 + 5\cdot 6^{n}$

Per ipotesi $6^{n}-1$ è divisibile per $5$ e quindi uguale a $5h$ con $h$ opportuno

Quindi, si ha $6^{n}-1 + 5\cdot 6^{n} = 5h + 5\cdot 6^{n} = 5(h+6^{n})$ divisibile per $5$

Esercizio 5

Dimostrare per induzione che il prodotto di tre numeri interi consecutivi è divisibile per $6$

Soluzione (passo base)

Per $n=1$ si ha $1\cdot 2 \cdot 3 = 6$ che è divisibile per 6

Soluzione (passo induttivo)

Dobbiamo dimostrare che $$(n+1)(n+2)(n+3) = n(n+1)(n+2) + 3(n+1)(n+2)$$ è divisibile per 6 sapendo che, per ipotesi induttiva, $$n(n+1)(n+2)$$ è divisibile per $6$

Per la prima somma, sappiamo che per ipotesi induttiva $n(n+1)(n+2)$ è divisibile per $6$, quindi possiamo scrivere $$n(n+1)(n+2) = 6h$$ con $h\in\mathbb{N}$ opportuno

Per la seconda somma, si ha che il prodotto di due numeri interi consecutivi, $$(n+1)(n+2) = 2p$$ è un numero pari e quindi uguale a $2p$ con $p\in\mathbb{N}$ opportuno

Quindi, si ha $$n(n+1)(n+2) + 3(n+1)(n+2) = 6h + 3 \cdot (2p) = 6(h+p)$$ che prova la divisibilità per $6$

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