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Fattoriale, coefficiente binomiale e binomio di Newton

Obiettivo (corso Analisi Matematica 1)

  • Definizione ricorsiva di fattoriale
  • Definizione di coefficiente binomiale e relative proprietà
  • Binomio di Newton
  • Dimostrazione tramite induzione del binomio di Newton
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    • Fattoriale

    Definizione (ricorsiva)
    Sia $n\in\mathbb{N}$. Si definisce $${n!}$$ il fattoriale di $n$, come

    $0! = 1$
    $n! = n \cdot (n-1)!$


    Esempi

    • $0! = 1$

    • $1! = 1$

    • $2! = 2 \cdot 1 = 2$

    • $3! = 3 \cdot 2 \cdot 1 = 6$

    • $4! = 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 24$

    • $5! = 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 120$


    Definizione (non ricorsiva)

    Sia $n\in\mathbb{N}$. Si definisce $n!$, il fattoriale di $n$, come $${n! = \prod\limits_{i=0}^{n} i}$$


    Coefficiente binomiale

    Definizione
    Siano $n,\ k\in\mathbb{N}$ con $k\leqslant n$. Si definisce ${n \choose k}$, il coefficiente binomiale di $n$ su $k$, come

    $${{n \choose k} = {n! \over k!(n-k)!}}$$

    E' importante nel binomio di Newton


    Esempi

    • ${5 \choose 0} = {5! \over 0!(5-0)!} = {5! \over 0!5!} ={\cancel{5!} \over 1 \cdot \cancel{5!}} = 1$

    • ${5 \choose 1} = {5! \over 1!(5-1)!} = {5! \over 1!4!} = {5 \cdot \cancel{4!} \over 1 \cdot \cancel{4!}} = 5$

    • ${5 \choose 2} = {5! \over 2!(5-2)!} = {5! \over 2!3!} = {5 \cdot 4 \cdot \cancel{3!} \over 2 \cdot \cancel{3!}} = 10$

    • ${5 \choose 3} = {5! \over 3!(5-3)!} = {5! \over 3!2!} = 10$

    • ${5 \choose 4} = {5! \over 4!(5-4)!} = {5! \over 4!1!} = 5$

    • ${5 \choose 5} = {5! \over 5!(5-5)!} = {5! \over 5!0!} = 1$

    • ${n \choose 0} = {\cancel{n!} \over 0!\cancel{n!}} = 1$

    • ${n \choose 1} = {n! \over 1!(n-1)!} = {n \cdot \cancel{(n-1)!} \over 1!\cancel{(n-1)!}} = n$


    Coefficiente binomiale (proprietà)

    • ${n \choose 0} = {n \choose n} = 1$

    • ${n \choose 1} = {n \choose n-1} = n$

    • ${n \choose k} = {n \choose n-k}$

    • ${n \choose k} = {n-1 \choose k-1} + {n-1 \choose k}$

    • ${n \choose k} \in\mathbb{N}$


    Esempio

    Dimostrare che $${{n \choose k} = {n-1 \choose k-1} + {n-1 \choose k}}$$

    Dimostrazione

    $$\begin{aligned} {n-1 \choose k-1} + {n-1 \choose k} &= {(n-1)!\over (k-1)!(n-k)!} + {(n-1)!\over k!(n-1-k)!}\\ &= {(n-1)! \over (k-1)!(n-1-k)!}\left({1\over n-k}+{1\over k}\right)\\ &= {(n-1)! \over (k-1)!(n-1-k)!}{n\over k(n-k)}\\ &= {n! \over k!(n-k)!} \;=\; {n \choose k} \end{aligned}$$


    Binomio di Newton

    Siano $a,b\in\mathbb{R}$ e $n\in\mathbb{N}$ con $n\geqslant1$. Allora

    $${{\begin{aligned}(a+b)^{n} &= {n \choose 0}a^{n}b^{0}+{n \choose 1}a^{{n-1}}b^{1}+{n \choose 2}a^{{n-2}}b^{2}+{n \choose 3}a^{{n-3}}b^{3}+\cdots \\&{}\qquad \cdots +{n \choose n-1}a^{1}b^{{n-1}}+{n \choose n}a^{0}b^{n}\\ &= \sum _{k=0}^{n}{n \choose k}a^{n-k}b^{k}\end{aligned}}}$$


    Esempio

    $$\begin{aligned} (a+b)^{1} &= {1 \choose 0} a^{1}b^{0} + {1 \choose 1} a^{0}b^{1} \\ &= 1\cdot a+1\cdot b \\ &= a+b \end{aligned}$$


    $$\begin{aligned} (a+b)^{2} &= {2 \choose 0} a^{2}b^{0} + {2 \choose 1} a^{1}b^{1} + {2 \choose 2} a^{0}b^{2} \\ &= 1\cdot a^2 + 2\cdot ab + 1\cdot b^2\\ &= a^2 + 2ab +b^2 \end{aligned}$$


    $$\begin{aligned} (a+b)^{3} &= {3 \choose 0} a^{3}b^{0} + {3 \choose 1} a^{2}b^{1} + {3 \choose 2} a^{1}b^{2} + {3 \choose 3} a^{0}b^{3} \\ &= 1\cdot a^3 + 3\cdot a^2b + 3\cdot ab^2 + 1\cdot b^3\\ &= a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 \end{aligned}$$


    Binomio di Newton

    I coefficienti dello sviluppo si ottengono facilmente dal triangolo di Tartaglia. Essi sono legati alle seguenti formule

    • limiti sinistro e destro del triangolo: ${n \choose 0}={n \choose n}=1$
    • Formula ricorsiva per la parte interna: ${n \choose k}={n-1 \choose k}+{n-1 \choose k-1}$ che corrisponde a dire che per ottenere il valore del coefficiente binomiale basta somma i suoi due predecessori, come mostrato in figura


    Per ottenere lo sviluppo di $(a-b)^{n}$ si utilizza la formula nella forma $\big(a+(-b)\big)^{n}$ cioè

    $${(a-b)^{n} = \big(a+(-b)\big)^{n} = \sum_{k=0}^{n} {n \choose k}a^{n-k}(-b)^{k} = \sum_{k=0}^{n} (-1)^k{n \choose k}a^{n-k}b^{k}}$$

    Una formula utile (nella dimostrazione delle derivate dei polinomi e non solo) è

    $${a^n-b^n=(a-b)\sum\limits_{k=0}^{n-1}a^k b^{n-k-1}}$$


    Esempi

    $$\begin{aligned} (a-b)^{1} &= {1 \choose 0} a^{1}b^{0} - {1 \choose 1} a^{0}b^{1} \\ &= 1\cdot a-1\cdot b\\ &= a-b \end{aligned}$$


    $$\begin{aligned} (a-b)^{2} &= \big(a+(-b)\big)^{2} = {2 \choose 0} a^{2}(-b)^{0} + {2 \choose 1} a^{1}(-b)^{1} + {2 \choose 2} a^{0}(-b)^{2} \\ &= 1\cdot a^2 - 2\cdot ab +1\cdot b^2\\ &= a^2 - 2ab +b^2 \end{aligned}$$


    $$\begin{aligned} (a-b)^{3} &= \big(a+(-b)\big)^{3} ={3 \choose 0} a^{3}(-b)^{0} + {3 \choose 1} a^{2}(-b)^{1} + {3 \choose 2} a^{1}(-b)^{2} + {3 \choose 3} a^{0}(-b)^{3} \\ &= 1\cdot a^3 - 3\cdot a^2b + 3\cdot ab^2 -1\cdot b^3\\ &= a^3 - 3a^2b + 3ab^2 -b^3 \end{aligned}$$


    Esercizio

    Applicando la formula $a^n-b^n=(a-b)\sum\limits_{k=0}^{n-1}a^k b^{n-k-1}$ semplificare la seguente espressione $${{(2+h)^4-2^4\over h}}$$

    Soluzione

    $$\begin{aligned} {(2+h)^4-2^4\over h} &= {\big((2+h)-2\big)\over h} \sum\limits_{k=0}^{4-1} (2+h)^k 2^{4-k-1} = {h\over h} \sum\limits_{k=0}^{3} (2+h)^k 2^{3-k}\\ &= \sum\limits_{k=0}^{3} (2+h)^k 2^{3-k} = 2^3 + 2^2(2+h) + 2(2+h)^2 + (2+h)^3 \end{aligned}$$


    Binomio di Newton (dimostrazione)

    Siano $a,b\in\mathbb{R}$ e $n\in\mathbb{N}$ con $n\geqslant1$. Allora

    $${(a+b)^{n} = \sum_{k=0}^{n}{n \choose k}a^{n-k}b^{k}}$$

    Dimostrazione (per induzione)

    Caso iniziale

    $(a+b)^{1} = a+b \;=\; {1 \choose 0}a^{1}b^{0} + {1 \choose 1}a^{0}b^{1} = a+b$


    Premessa

    Useremo la formula $${{n+1 \choose k} = {n \choose k-1} + {n \choose k}}$$


    Passo induttivo

    $$\begin{aligned} (a+b)^{{n+1}} &=(a+b)(a+b)^{n} \\ &= (a+b)\sum\limits_{k=0}^{n}\,{n \choose k}a^{n-k}b^{k}\\ &=\sum\limits_{{k=0}}^{n}\,{n \choose k}a^{{n+1-k}}b^{{k}}+\sum\limits_{{k=0}}^{n}\,{n \choose k}a^{{n-k}}b^{{k+1}} \end{aligned}$$


    Evidenziando il primo e ultimo termine delle due sommatorie ed eseguendo il cambio di variabile $l=k+1$ nella seconda, si ha

    $$\begin{aligned} (a+b)^{{n+1}} &= \sum\limits_{k=1}^{n}\,{n \choose k}a^{n+1-k}b^{k} + {a^{n+1}} + \sum\limits_{k=0}^{n-1}\,{n \choose k}a^{n-k}b^{k+1} + {b^{n+1}} \\ &= a^{n+1} + \sum\limits_{k=1}^{n}\,{n \choose k}a^{n+1-k}b^{k} + {\sum\limits_{l=1}^{n}\,{n \choose l-1}a^{n+1-l}b^{l}} + b^{n+1} \\ &= a^{n+1} + {\sum\limits_{k=1}^{n}\left({n \choose k}+{n \choose k-1}\right)a^{n+1-k}b^{k} + b^{n+1}} \end{aligned}$$


    $$\begin{aligned} (a+b)^{{n+1}} &= a^{n+1} + \sum\limits_{k=1}^{n}\left({n \choose k}+{n \choose k-1}\right)a^{n+1-k}b^{k} + b^{n+1}\\ &= a^{n+1} + {\sum\limits_{k=1}^{n}{n+1 \choose k}a^{n+1-k}b^{k}} + b^{n+1} \\ &= {\sum\limits_{k=0}^{n+1}{n+1 \choose k}a^{n+1-k}b^{k}} \end{aligned}$$


    Curiosità

    La funzione che estende il fattoriale (definito sui naturale) ai reali è la funzione Gamma di Eulero

    Si ha $$ \Gamma(n+1) = n! $$

    Ad esempio, si ha

    $$ \Gamma \left({\tfrac {1}{2}}\right)= {\sqrt {\pi }} $$


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