I numeri reali (dagli assiomi) e i reali estesi

Obiettivo (corso Analisi Matematica 1)

Definizione di numero reale per via assiomatica
Ordinamento nei reali
Assioma di Dedekind
Regole di calcolo nei reali
- Legge di annullamento del prodotto
Densità dei reali
Definizione di numero reale esteso

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Assiomi dei numeri reali

Definizione per via assiomatica (regole primitive non dimostrabili)

Esistono diverse formalizzazioni tra loro equivalenti, qui ne riportiamo una

In $\mathbb{R}$ sono definite:

due operazioni
- una detta somma "$+$" e
- l'altra detta moltiplicazione "$\cdot$"
e una relazione d'ordine "$<$" che verificano le seguenti proprietà (assiomi)

Assiomi dei numeri reali

Siano $a$, $b$ e $c$ tre numeri appartenenti a $\mathbb{R}$, allora

Proprietà associativa dell'addizione e della moltiplicazione:$$\begin{aligned} (a+b)+c&=a+(b+c)\\ (a\cdot b)\cdot c&=a\cdot(b\cdot c) \end{aligned}$$
Proprietà commutativa dell'addizione e della moltiplicazione$$\begin{aligned} a+b&=b+a\\ a\cdot b&=b\cdot a \end{aligned}$$

Esistenza degli elementi neutri, $0$ per l'addizione e $1$ per la moltiplicazione, tali che:$$\begin{aligned} a+0&=a\\ a\cdot 1&=a \end{aligned}$$
Esistenza dell'opposto rispetto l'elemento neutro dell'addizione: $$a+(-a)=0$$
Esistenza dell'inverso rispetto l'elemento neutro della moltiplicazione, se $a\ne0$ si ha: $$a\cdot a^{-1}=1$$ dove $a^{-1}$ si indica anche con $1\over a$
Proprietà distributiva della moltiplicazione verso l'addizione: $$a\cdot(b+c)=a\cdot b + a\cdot c$$

Legge di tricotomia: ovvero dati due numeri $a$ e $b$ vale solo una delle seguenti possibilità: $$a < b \quad,\quad a > b \quad,\quad a=b$$
Transitiva dell'ordinamento: $$\left.\begin{aligned} a < b\\ b < c \end{aligned}\right\} \implies a<c $$
Compatibilità dell'ordinamento rispetto alla somma: $$a< b \implies a+c< b+c$$
Compatibilità dell'ordinamento rispetto al prodotto: $$\left.\begin{aligned} a < b\\ c>0 \end{aligned}\right\} \implies a\cdot c<b\cdot c $$
Vale l'assioma di separazione (o assioma di Dedekind o completezza): Siano $A,B \in\mathbb{R}$ non vuoti e tali che per ogni $a \in A$ e $b \in B$ si abbia $a \leqslant b$. Allora esiste un elemento $c \in\mathbb{R}$ che separa $A$ e $B$, cioè tale che per ogni $a \in A$ e $b \in B$ si ha $a\leqslant c \leqslant b$ .

Ordinamento

Per l'ordinamento abbiamo: $$a\leqslant b \iff a < b \;\lor\; a=b$$ i.e. $$a < b \iff a \leqslant b \;\land\; a\ne b$$

Inoltre, si ha $$a\geqslant b\iff b\leqslant a$$

Assioma di Dedekind

Gli assiomi precedenti non sono sufficienti a caratterizzare completamente $\mathbb{R}$

Assioma di separazione
Se $A$ e $B\ne\emptyset$ tali che $a\leqslant b$ per ogni $a\in A$ e per ogni $b\in B$, allora esiste $x\in\mathbb{R}$ tale che $$a\leqslant x \leqslant b$$

Teorema di buona definizione di $\mathbb{R}$
Esiste ed è unico un insieme $\mathbb{R}$ che verifica gli assiomi precedentemente elencati. Inoltre $\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}$ e le operazione di $\mathbb{Q}$ (somma, prodotto, ordinamento totale) su $\mathbb{R}$ sono coerenti con quelle di $\mathbb{Q}$.

Regole di calcolo

Discendono dagli assiomi le classiche regole di calcolo usate per semplificare le espressioni:

Moltiplicazione per zero: $$a\cdot0=0$$
Regole dei segni: $$(-a)\cdot b= - a\cdot b\quad\text{ e }\quad(-a)\cdot (-b)= a\cdot b$$
L'opposto dell'opposto è il numero di partenza: $$-(-a) = a$$
Semplificazione rispetto alla somma: $$a+b=a+c \implies b=c$$
Semplificazione rispetto al prodotto: $$a\cdot b=a\cdot c \implies b=c,\quad \text{se }a\ne0$$
L'opposto è unico
L'inverso (di un numero diverso da $0$) è unico
Cambio di segno della diseguaglianza: $$a>0\implies -a<0$$
Regola di cambio di segno nelle disequazioni: $$\begin{aligned}a\leqslant b\;\text{ e }\;c\geqslant0\implies a\cdot c\leqslant b\cdot c\ a\leqslant b\;\text{ e }\;c\leqslant0\implies a\cdot c\geqslant b\cdot c\end{aligned}$$
Il quadrato di un numero è positivo: $$a^2>0$$ e $a^2=0\iff a=0$
Legge annullamento del prodotto: se $a\cdot b=0$ sse $a=0$ o $b=0$

Il punto 11 spiega perché non possiamo dividere per $0$, cioè non esiste l'inverso dello zero. Per l'assioma dell'esistenza degli inversi si avrebbe $0\cdot 0^{-1}=1$ che è in contraddizione con la legge dell'annullamento del prodotto $0\cdot 0^{-1} = 0$.

I numeri reali: conseguenze

$\mathbb{N}\subset \mathbb{Z}\subset \mathbb{Q}\subset \mathbb{R}$
Le operazioni di somma, prodotto e ordinamento totale su $\mathbb{R}$ sono coerenti con quelle di $\mathbb{Q}$
E' possibile rappresentare $\mathbb{R}$ geometricamente con una retta orientata

Assioma di Dedekind (interpretazione grafica)

Permette di avere una corrispondenza biunivoca tra tutti i punti della retta e i numeri reali (continuo di punti)

E' importante notare che $\mathbb{Q}$ non verifica l'assioma di Dedekind.

L'insieme $A={x\in \mathbb {R} \colon\; x^{2}<2}$ ha come estremo superiore $\sqrt{2}\not\in\mathbb{Q}$.

Altre proprietà

Proprietà di Archimede
Per ogni $x,\,y\in\mathbb{R}$ con $x,y>0$ esiste $n\in\mathbb{N}$ tale che $n x>y$

Parte intera
Per ogni $x\in\mathbb{R}$ esiste un unico $n\in\mathbb{Z}$ tale che $$n\leqslant x < n+1$$
$n$ viene indicato con $\lfloor x \rfloor$ (si legge parte bassa)

Densità

$\mathbb{N}$ è superiormente illimitato
$\mathbb{Z}$ è superiormente e inferiormente illimitato
$\mathbb{N}\subset \mathbb{Z}\subset \mathbb{Q}\subset \mathbb{R}$
Gli insiemi dei razionali $\mathbb{Q}$
- non è completo (es. $\sqrt{2}\not\in\mathbb{Q}$)
- è numerabile (corrispondenza biunivoca con i numeri naturali, come da figura)

Gli insiemi dei razionali è
- denso nei reali
  - ${x\in\mathbb{R}\colon\; a<x<b,\ a<b} \cap \mathbb{Q}\ne \emptyset$
- posso approssimare un numero reale tramite un numero razionale con precisione grande a piacere
  - per ogni $a\in\mathbb{R}$ si ha $\sup{x\in\mathbb{Q}\colon\; x<a} = a$ (approx. per eccesso)
  - per ogni $a\in\mathbb{R}$ si ha $\inf{x\in\mathbb{Q}\colon\; x>a} = a$ (approx. per difetto)

Reali estesi (definizione)

Conviene, per semplificare le notazioni future, introdurre i numeri reali estesi, ovvero introdurre un simbolo per un numero arbitrariamente (infinitamente) grande e il suo opposto, i.e. $$ \overline{\mathbb{R}} = \mathbb{R}\cup {-\infty} \cup {+\infty} $$ dove i simboli $-\infty$ e $+\infty$ indicano due oggetti che supporremo tali che $$\begin{gathered} \forall x\in\mathbb{R}\colon\; -\infty < x\\ \forall x\in\mathbb{R}\colon\; x < +\infty \end{gathered}$$

Capire l'assioma di Dedekind

Il numero $0.999\ldots$ e $1$ rappresentano lo stesso numero reale

L'assioma di Dedekind sostanzialmente dice che: "tra due numeri reali diversi riesco sempre a scrivere un numero reale che stia in mezzo e li separi"

Provate a trovare un numero che separi $0.\overline{9}$ e $1$

Una spiegazione alternativa di questo fatto lo vedremo quando parleremo delle successioni

Curiosità

Il tappare i buchi dei razionali con i reali è dovuto a Cauchy (con le sue successioni) e poi da Cantor e Dedekind
La necessità dei reali rispetto ai razionali è necessaria al calcolo infinitesimale che fu inventato Newton e Leibniz
Ora il calcolo infinitesimale si chiama analisi matematica
Il tappare i buchi si traduce nel dire che i numeri reali sono uno "spazio metrico completo"

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