Funzioni monotòne
Obiettivo (corso Analisi Matematica 1)
- Definizione di funzione monotona
- strettamente crescente
- crescente
- strettamente decrescente
- decrescente
- Proprietà delle funzioni monotone
Funzioni monotone (definizione)
Sia $f\colon X\subseteq\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ e $I$ un intervallo
- $f$ è strettamente crescente in $I$ sse
$\quad \quad\forall x_1, x_2\in I$ con $x_1<x_2$, si ha $f(x_1) < f(x_2)$ - $f$ è crescente in $I$ sse
$\quad \quad\forall x_1, x_2\in I$ con $x_1<x_2$, si ha $f(x_1) \leqslant f(x_2)$ - $f$ è strettamente decrescente in $I$ sse
$\quad \quad\forall x_1, x_2\in I$ con $x_1 < x_2$, si ha $f(x_1) > f(x_2)$ - $f$ è decrescente in $I$ sse
$\quad \quad\forall x_1, x_2\in I$ con $x_1<x_2$, si ha $f(x_1) \geqslant f(x_2)$ - $f$ si dice monotòna se è uno dei precedenti casi
Esempio di funzioni monotone
Proprietà delle funzioni monotone
Proprietà 1
- Se $f$ è (strettamente) crescente allora $-f$ è (strettamente) decrescente
- il grafico di $-f$ è simmetrico rispetto alla retta delle ascisse ($y=0$)
Proprietà 2
- Se $f,g\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}^{+}$ due funzioni crescenti (decrescenti) e positive allora il prodotto $f\cdot g$ è crescente (decrescente) e positivo
Esempio in cui se non sono positive il risultato non vale
Proprietà 3
- La somma di due funzioni crescenti (decrescenti) è crescente (decrescente)
Proprietà 4
- Il reciproco di una funzione crescente (decrescente), che non si annulla mai e di segno costante (stesso intervallo), è decrescente (crescente)
Proprietà 5
La composizione di due funzioni crescenti (decrescenti) è crescente
La composizione di una funzione crescente con una decrescente (e viceversa), è decrescente
Proprietà 6
- Se $f$ è strettamente crescente (decrescente) allora $f$ è iniettiva e $f^{-1}$ è strettamente crescente (decrescente)
Esempi
Esempio 1
Disegnare il grafico di $f(x)={1\over 2x}$ per $x>0$.
E' iniettiva? Se sì disegnare il grafico dell'inversa.
Soluzione
$f(x)$ è una funzione strettamente decrescente per $x>0$, infatti, siano $0<x_1<x_2$ allora ${1\over 2x_2} < {1\over 2x_1}$ che corrisponde a $x_1 < x_2$ (come da ipotesi)
Essendo strettamente decrescente è anche iniettiva, e quindi esiste l'inversa (strettamente decrescente)
Esempio 1
Risolvendo l'equazione $y={1\over 2x}$ si ottiene $x={1\over 2y}$ e quindi la funzione inversa è $f^{-1}(x)={1\over 2x}$
Esempio 2
Disegnare il grafico di $f(x)=-x^2$ per $x\leqslant 0$.
E' iniettiva? Se sì disegnare il grafico dell'inversa.
Soluzione
$f(x)$ è una funzione strettamente crescente per $x\leqslant 0$, infatti, siano $x_1 < x_2\leqslant 0$ allora $-x_1^2 < -x_2^2 \implies x_1^2 > x_2^2$ che risulta versa per $x_1 < x_2\leqslant 0$ . Infatti, da $x_1=-|x_1|$ e $x_2=-|x_2|$ segue che $|x_1| > |x_2|$ e quindi $x_1^2 > x_2^2$)
Essendo strettamente crescente è anche iniettiva, e quindi esiste l'inversa (strettamente crescente)
Risolvendo l'equazione $y=-x^2$ si ottiene $x=\pm\sqrt{-y}$, va scelto il segno $-$ perché le $x$ sono negative e quindi la funzione inversa è $f^{-1}(x)=-\sqrt{-x}$
Esempio 3
Dimostrare che se $f\colon I\to\mathbb{R}$ è strettamente crescente allora $f$ è iniettiva e $f^{-1}$ è strettamente crescente
Passo 1: Dim. che se $f$ strettamente crescente allora $f$ è inittiva
Sia $f$ è strettamente crescente e $x_1,\ x_2\in I$ tali che $x_1\ne x_2$ con $x_1 < x_2$ (senza perdita di generalità)
Se $x_1 < x_2$ allora $f(x_1)<f(x_2)$ e quindi $f(x_1)\ne f(x_2)$
Questo prova che $f$ è inittiva
Passo 2
Dalla definizione di inversa abbiamo che $f^{-1}\colon \mathcal{I}(f)\to I$.
Dal momento che $x_1,\ x_2 \in I$ e $f$ è strettamente crescente i.e. $f(x_1) < f(x_2)$ i.e
$$ f^{-1}(y_1) = x_1 < x_2 = f^{-1}(y_2) $$
e applicando $f$ abbaiamo
$$ f(f^{-1}(y_1)) = y_1 = f(x_1) < f(x_2) = y_2 = f(f^{-1}(y_2)) $$
da cui
$$ y_1 < y_2 $$
che dimostra che la funzione inversa è strettamente crescente
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