Le proposizioni in logica

Obiettivo (corso Analisi Matematica 1)

Logica: Definizione di proposizione
Connettivi logici
- Negazione
- Congiunzione
- Disgiunzione
- Implicazione
- Doppia implicazione

Definizione di proposizione (predicato / enunciato / principio / affermazione / assioma)

Logica: Formalismo del linguaggio matematico

Proposizione: elemento base del quale è possibile attribuire inequivocabilmente (in modo oggettivo) un valore di verità (vero o falso)

I sinonimi di proposizione quali enunciato, predicato, principio, affermazione, assioma, sono usati in contesti ben particolari

Esempio

"$3 > 10$": è una proposizione falsa

"$2\text{ è un numero pari}$": è una proposizione vera

"$\text{Venezia è una bella città}$": non è una proposizione in quanto non possiamo dire se è vera o falsa (è qualcosa di soggettivo; non è un'affermazione oggettiva)

Connettivi logici

I connettivi logici premettono di costruire nuove proposizioni a partire da altre proposizioni e sono:

Negazione
Congiunzione
Disgiunzione
Implicazione
Doppia implicazione

Negazione: $\neg P$

Definizione
$\neg P$ corrisponde a "non P" del linguaggio naturale

Tabella di verità

Se $P$ è vero, allora il suo negato è falso

$P$	$\quad\neg P\quad$
$V$	$F$
$F$	$V$

Esempio

Se $P$ è "$\text{2 è un numero pari}$" è una proposizione vera, allora

$\neg P$, i.e. $\text{2 non è un numero pari}$, è una proposizione falsa
$\neg(\neg P)$ è la preposizione di partenza $P$

Congiunzione: $P \land Q$

Definizione
$P \land Q$ corrisponde a "P e Q" del linguaggio naturale

Tabella di verità

L'affermazione $P \land Q$ è vera quando $P$ e $Q$ sono entrambe vere

$P$	$Q$	$\quad P \land Q\quad$
$V$	$V$	$V$
$V$	$F$	$F$
$F$	$V$	$F$
$F$	$F$	$F$

Esempio

$P$: "2 è un numero pari" (vera)
$Q$: "3 è un numero dispari" (vera)
$P \land Q$: "2 è un numero pari" e "3 è un numero dispari" (vera)

Disgiunzione: $P \lor Q$

Definizione
$P \lor Q$ corrisponde a "P o Q" del linguaggio naturale (nel senso di almeno una)

Tabella di verità

L'affermazione $P \lor Q$ è falsa quando $P$ e $Q$ sono entrambe false (vera quando almeno una è vera)

$P$	$Q$	$\quad P \lor Q\quad$
$V$	$V$	$V$
$V$	$F$	$V$
$F$	$V$	$V$
$F$	$F$	$F$

Esempio

$P$: "2 è un numero pari" (vera)
$Q$: "3 è un numero pari" (falsa)
$P \lor Q$: "2 è un numero pari" o "3 è un numero pari" (vera)

Implicazione: $P \implies Q$

Definizione
$P \implies Q$ corrisponde a "P implica Q" o "se P, allora Q" del linguaggio naturale

Tabella di verità

L'affermazione $P \implies Q$ è vera se $P$ e $Q$ sono entrambe vere o se $P$ (ipotesi) è falsa

(da ipotesi false si può dedurre qualunque conseguenza)

$P$ è detta ipotesi
$Q$ è detta tesi

Tabella di verità

$P$	$Q$	$\quad P \implies Q\quad$
$V$	$V$	$V$
$V$	$F$	$F$
$F$	$V$	$V$
$F$	$F$	$V$

Nota

Nessun rapporto tra i predicati (rapporto di causa-effetto del linguaggio naturale)
Un teorema afferma che $P\implies Q$ è vera (per dimostrazione) e partendo dalla verità di $P$ (ipotesi) si arriva alla verità di $Q$ (tesi)
$P \implies Q$ non è equivalente a $Q \implies P$

Esempio 1

$P$: "Piove" (vera)
$Q$: "Raul sta a casa" (vera)
$P \implies Q$: se "piove" allora "Raul sta a casa" (vera)

Esempio 2

L'implicazione $P \implies Q$ ha la stessa tavola di verità di $(\neg P) \lor Q$, infatti

$P$	$Q$	$\quad P \implies Q\quad$	$\neg P$	$\quad (\neg P) \lor Q\quad$
$V$	$V$	$V$	$F$	$V$
$V$	$F$	$F$	$F$	$F$
$F$	$V$	$V$	$V$	$V$
$F$	$F$	$V$	$V$	$V$

Condizione necessaria e sufficiente

Dalla frase $$ \text{Venezia è una città veneta allora Venezia è italiana} $$ si ha

$P=\text{Venezia è una città veneta}$
$Q=\text{Venezia è italiana}$

Allora:

per essere veneta è condizione necessaria essere italiana
se non è italiana, sicuramente non può essere veneta

Da $P \implies Q$ (ipotesi implica tesi)

$Q$ è detta condizione necessaria per $P$
- deve essere soddisfatta affinché la premessa sia vera
- se non vale, la proprietà non può valere

Condizione necessaria e sufficiente

Dalla frase $$ \text{Venezia è una città veneta allora Venezia è italiana} $$ si ha

$P=\text{Venezia è una città veneta}$
$Q=\text{Venezia è italiana}$

Allora:

il fatto di essere una città veneta è sufficiente per essere italiana
se non è veneta, non si può dire nulla sul fatto che di essere italiana o meno

Da $P \implies Q$ (ipotesi implica tesi)

$P$ è detta condizione sufficiente per $Q$
- se soddisfatta garantisce la verità della proposizione
- se non è soddisfatta, la proprietà potrebbe comunque valere

Doppia implicazione: $P \iff Q$

Definizione
$P \iff Q$ corrisponde a "P se e solo se Q" del linguaggio naturale

Nota $P \iff Q$ è equivalente a $(P \implies Q) \land (Q \implies P)$

Si dice che $P$ è condizione necessaria e sufficiente per $Q$

(Uno implica l'altra, e viceversa)

Tabella di verità

L'affermazione $P \iff Q$ è vera quando $P$ e $Q$ sono entrambe vere o entrambe false

$P$	$Q$	$\quad P \iff Q\quad$
$V$	$V$	$V$
$V$	$F$	$F$
$F$	$V$	$F$
$F$	$F$	$V$

Curiosità

Il fondatore della logica matematica è stato George Boole (1815-1864)
Successivamente fu Augustus De Morgan (1806-1871) continuare nello sviluppo dell'algebra booleana

Il termine "boolean" viene utilizzatto in informatica per indicare una variabile che può assumere un valore "vero" o "falso"

Ricorda di sostenere questo progetto con una donazione (PayPal.Me/ManoloVenturin).

$P$	$Q$	$\quad P \implies Q\quad$	$\neg P$	$\quad (\neg P) \lor Q\quad$
$V$	$V$	$V$	$F$	$V$
$V$	$F$	$F$	$F$	$F$
$F$	$V$	$V$	$V$	$V$
$F$	$F$	$V$	$V$	$V$

$P$	$Q$	$\quad P \implies Q\quad$	$\neg P$	$\quad (\neg P) \lor Q\quad$
$V$	$V$	$V$	$F$	$V$
$V$	$F$	$F$	$F$	$F$
$F$	$V$	$V$	$V$	$V$
$F$	$F$	$V$	$V$	$V$

$P$	$Q$	$\quad P \implies Q\quad$	$\neg P$	$\quad (\neg P) \lor Q\quad$
$V$	$V$	$V$	$F$	$V$
$V$	$F$	$F$	$F$	$F$
$F$	$V$	$V$	$V$	$V$
$F$	$F$	$V$	$V$	$V$