Esercizi parte 3 sui numeri complessi 2/4

Indice degli esercizi (corso Analisi Matematica 1)

1. Risolvere l'equazione $z^3 + 3z - 2i = 0$ sapendo che ha una radice doppia
2. Siano $a,b\in\mathbb{R}$. Risolvere l'equazione $z^3 + a z^2 + b z = 10$, sapendo che $i$ è una radice.
3. Risolvere l'equazione $z^4-4z^3+9z^2-10z+6=0$ sapendo che $1+i$ è una radice.
4. Siano $a,b,c\in\mathbb{R}$. Risolvere l'equazione $z^4 + a z^3 + b z +c z = 12$ sapendo che $2i$ e $1$ sono due radici.
5. Calcolare le radici di $z^n + z^{n-1} + \ldots + z + 1$

Soluzione

Esercizio 1

Risolvere l'equazione $$z^3 + 3z - 2i = 0$$ sapendo che ha una radice doppia

Soluzione

Sia $a$ la radice doppia e $b$ l'altra radice, allora si ha $$ z^3 + 3z - 2i \;=\; (z - a)^2 \cdot (z - b) \;=\; z^3 + z^2(-2a - b) + z(a^2 + 2ab) - a^2b $$ da cui $$ \begin{cases} 2a + b = 0 \\ a^2 + 2ab = 3 \\ a^2 b = 2i \end{cases} $$

Sostituendo la I eq., $b=-2a$ nella II eq., $a^2 + 2ab = 3$ si ha $$ a^2 - 4a^2 = 3 \;\implies\; a^2=-1 \;\implies\; a=\pm i $$

Ora $P(i) = 0$ e $P(-i) = +i-3i-2i=-4i \ne 0$

Quindi $a=i$ è la radice doppia e $b=-2i$ è l'altra radice

Esercizio 2

Siano $a,b\in\mathbb{R}$. Risolvere l'equazione

$$z^3 + a z^2 + b z = 10$$

sapendo che $i$ è una radice.

Soluzione

Essendo $P(z)$ a coefficienti reali, anche $P(-i)$ è radice di $P$

Quindi, dalle condizioni $P(i)=P(-i)=0$, si ha $$ \begin{cases} -i - a + bi = 10 \\ i - a - bi = 10 \end{cases} \;\implies\; \begin{cases} -i - a + bi = 10 \\ -2a = 20 \end{cases} \;\implies\; \begin{cases} b = 1 \\ a = -10 \end{cases} $$ Quindi $P(z) = z^3 - 10 z^2 + z -10$

Quindi $P(z) = z^3 - 10 z^2 + z -10$ è divisibile per $(z-i)(z+i) = z^2 + 1$

Usano Ruffini, si ha

cioè $z^3 - 10z^2 + z -10 = (z^2+1)(z-10)$

La terza radice è $z=10$

Esercizio 3

Risolvere l'equazione

$$P(z) = z^4-4z^3+9z^2-10z+6=0$$

sapendo che $1+i$ è una radice

Soluzione

Poiché $P(z)$ è un polinomio a coefficienti reali e $1+i$ è una radice, lo è anche $1-i$

Quindi $P(z)$ è della forma $$P(z) = Q(z)\big(z-(1+i)\big)\big(z-(1-i)\big) = Q(z)(z^2-2z+2)$$

Con l'algoritmo di Ruffini si trova $Q(z) = z^2-2z+3$

Le due radici di $z^2-2z+3$ sono $z_{1,2} = 1 +\sqrt{1-3} = 1 + \sqrt{-2} = 1 \pm\sqrt{2} i$

Esempio 4

Siano $a,b,c\in\mathbb{R}$. Risolvere l'equazione

$$z^4 + a z^3 + b z +c z = 12$$

sapendo che $2i$ e $1$ sono due zeri

Soluzione

Poiché $a,b,c\in\mathbb{R}$ allora oltre alla radice $2i$ c'è anche la radice $-2i$

Dalle condizioni $P(1)=P(2i)=P(-2i)=0$ si ottiene il sistema $$ \begin{cases} a + b + c = 11 \\ 2i(c-4a)-4b = -4 \\ -2i(c-4a)-4b = -4 \end{cases} \;\implies\; \begin{cases} a = 2 \\ b = 1 \\ c = 8 \end{cases} $$

Dividendo

$$ P(z) \;=\; z^4 + 2z^3 + z^2 + 8z - 12 $$

per (radici $2i$, $-2i$ e $1$)

$$(z-2i)(z+2i)(z-1)= (z^2+4)(z-1) = z^3-z^2+4z-4$$

si ha la fattorizzazione

$$ P(z) \;=\; z^4 + 2z^3 + z^2 + 8z - 12 \;=\; (z^2+4)(z-1)(z+3) $$

da cui le radici $$\left\{1, -3, \pm2i\right\}$$

Esercizio 5

Calcolare le radici di

$$P(z) = z^n + z^{n-1} + \ldots + z + 1 = 0$$

Soluzione

Si ha (progressione geometrica di ragione $z$)

Quindi le radici di $P(z)$ sono tutte quelle di $z^{n+1}-1$ (radici $n+1$-esime dell'unità) ad eccezione di $1$ (radice di $z-1$, denominatore)

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