Esercizi parte 3 sui numeri complessi 1/4

Indice degli esercizi (corso Analisi Matematica 1)

Descrivere il luogo geometrico:

$\quad\operatorname{Im}{\left({1\over z}\right)}=k$ con $k\in\mathbb{R}$ e $k\ne0$
$\quad z^2+\bar{z}^2=2$

Risolvere le equazioni

$\quad{\displaystyle\left({z+1\over z+i}\right)^4=1}$
$\quad{\displaystyle z^6+7z^3-8=0}$
$\quad{\displaystyle\left({1\over z} + {1\over \overline{z}}\right) \cdot \left(\left|z\right|^2-1\right)-i\overline{z} \cdot \operatorname{Im}\left(z\right) = 0}$

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Soluzione

Esercizio 1

Descrivere il luogo geometrico $\operatorname{Im}{\left({1\over z}\right)}=k$ con $k\in\mathbb{R}$ e $k\ne0$

Soluzione

Posto $z=x+iy$ si ha $$ \begin{gathered} \operatorname{Im}{\left({1\over z}\right)}=k \;\implies\; \operatorname{Im}{\left({\overline{z}\over \left|z\right|^2}\right)}=k \;\implies\; {-y\over x^2+y^2} = k \\ \;\implies\; x^2+y^2 +{y\over k} = 0 \;\implies\; x^2+\left(y +{1\over 2k}\right)^2 = {1\over 4k^2} \end{gathered} $$

Si tratta di una circonferenza di centro $\left(0, -{1\over 2k}\right)$ e raggio ${1\over 2|k|}$

Esercizio 2

Descrivere il luogo geometrico $z^2+\bar{z}^2=2$

Soluzione

$z^2 = (x+iy)^2 = x^2 - y^2 + 2iy$
$\bar{z}^2 = (x-iy)^2 = x^2 - y^2 - 2iy$

si ha

$$\begin{gathered} z^2+\bar{z}^2=2 \\ (x^2 - y^2 + \cancel{2iy}) + (x^2 - y^2 - \cancel{2iy}) = 2\\ x^2 - y^2 = 1 \end{gathered}$$

Si tratta dell'equazione di un'iperbole

Esercizio 3

Risolvere l'equazione $$\left({z+1\over z+i}\right)^4=1$$

Soluzione

Posto $u={z+1\over z+i}$, l'equazione diventa $$ u^4=1 $$ le cui radici quarte sono $$ u_0 = 1,\quad u_0 = i,\quad u_0 = -1,\quad u_0 = -i $$

Ora si ha

$$ {z_k+1\over z_k+i}=u_k \quad\implies\quad z_k = {i u_k-1\over 1-u_k} $$

per cui

$z_0 \;=\; {i u_0-1\over 1-u_0} \;=\; {i-1\over 1-1}$ non ci sono soluzioni
$z_1 \;=\; {i u_1-1\over 1-u_1} \;=\; {i^2-1\over 1-i}\;=\; {-2\over 1-i}\;=\; -1-i$
$z_2 \;=\; {i u_2-1\over 1-u_2} \;=\; {-i-1\over 1+1}\;=\; -{1\over2}-{1\over2}i$
$z_3 \;=\; {i u_3-1\over 1-u_3} \;=\; {-i^2-1\over 1+i}\;=\; 0$

Esercizio 4

Risolvere l'equazione $$z^6+7z^3-8=0$$

Soluzione

Posto $u=z^3$ l'equazione diventa $$ u^2+7u-8=0 $$ che ha soluzione $$ u_{0,1} = {-7\pm\sqrt{49+32}\over 2} = {-7\pm9\over2} = \begin{cases} {-7+9\over2} = 1\\ {-7-9\over2} = -8\\ \end{cases} $$

Quindi, le equazioni da risolvere sono $$ z^3 = 1 = 1\operatorname{cis}{0}\quad\text{ , }\quad z^3 = -8 = 8\operatorname{cis}{{\pi}} $$ da cui $$ z^3 = 1\;\implies\;\left\{\operatorname{cis}{0},\; \operatorname{cis}{{2\pi\over3}},\; \operatorname{cis}{{4\pi\over3}}\right\} = \left\{1, -{1\over2}\pm{\sqrt{3}\over2}\right\} $$ e $$ z^3 = -8\;\implies\; \left\{2\operatorname{cis}{{\pi\over3}},\; 2\operatorname{cis}{\pi},\; 2\operatorname{cis}{\left(-{\pi\over3}\right)}\right\} = \left\{-2, 1\pm\sqrt{3}\right\} $$

Esercizio 5

Risolvere l'equazione $$\left({1\over z} + {1\over \overline{z}}\right) \cdot \left(\left|z\right|^2-1\right)-i\overline{z} \cdot \operatorname{Im}(z) = 0$$

Soluzione

Posto $z=x+iy$, l'equazione diventa $$ \begin{gathered} \left({\overline{z} + z\over z\overline{z}}\right) \cdot \left(x^2+y^2-1\right)-i(x-iy) y = 0 \\ \left({2\operatorname{Re}(z)\over \left|z\right|^2}\right) \cdot \left(x^2+y^2-1\right)-(ix+y) y = 0 \\ \left({2x\over x^2+y^2}\right) \cdot \left(x^2+y^2-1\right)-(ix+y) y = 0 \end{gathered} $$

$$ \left({2x\over x^2+y^2}\right) \cdot \left(x^2+y^2-1\right)-(ix+y) y = 0 $$

si ha il sistema di equazioni (parte reale ed immaginaria)

$$\begin{cases} \left({2x\over x^2+y^2}\right) \cdot \left(x^2+y^2-1\right)-y^2 = 0 \\ xy = 0 \end{cases}$$

Nota: Osserviamo che deve esserci la condizione di esistenza $$x^2+y^2\ne0\quad\implies\quad x\ne0 \;\land\; y\ne 0$$ i.e. $z=0$ non può essere soluzione

Dalla seconda equazione di

$$\begin{cases} \left({2x\over x^2+y^2}\right) \cdot \left(x^2+y^2-1\right)-y^2 = 0 \\ xy = 0 \end{cases}\quad\quad\quad,\quad z\ne0$$

se $x=0$ si ha (sostituito nella prima) $y=0$ che però deve essere scartata

Se invece dalla seconda equazione sostiuiamo $y=0$ nella prima si ha $${2x\over x^2}(x^2-1) = 0 \;\implies\; x^2-1=0 \;\implies\; x=\pm1$$

Quindi le soluzioni sono

$$ z = (-1,0) = -1 \quad\text{ , }\quad z = (1,0) = 1 $$

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