Esercizi su due sommatorie notevoli
Obiettivo (corso Analisi Matematica 1)
Premessa
Ricordiamo le seguenti sommatorie notevoli (progressione geometrica di ragione $q$)
$$ \sum_{k=0}^{n} q^{k} = \begin{cases} \frac{1-q^{n+1}}{1-q} & \text{se } q\ne 1\\ n+1 & \text{se } q= 1 \end{cases} $$ $$ \sum_{k=1}^{n} q^{k} \;=\; \sum_{k=0}^{n} q^{k} - 1 \;=\; \frac{1-q^{n+1}}{1-q}-1 \;=\; q\frac{1-q^{n}}{1-q} \quad \text{se } q\ne 1 $$e le relazioni del seno e coseno con l'esponenziale complesso
$$\sin{\theta} \;=\; {e^{i\theta}-e^{-i\theta}\over 2i}\quad,\quad \cos{\theta} \;=\; {e^{i\theta}+e^{-i\theta}\over 2}$$Esercizio 1
Calcolare $${\sum\limits_{k=1}^{n} \cos{(kx)}\;=\;\cos{x}+\cos{(2x)}+\ldots+\cos{(nx)}}$$
Soluzione
Si ha
$$\begin{aligned} \sum\limits_{k=1}^{n} \cos{(kx)} &=\; \cos{x}+\cos{(2x)}+\ldots+\cos{(nx)} \\ &=\; \operatorname{Re}{\left(e^{ix} + e^{i2x} + \ldots + e^{inx}\right)}\\ &=\; \operatorname{Re}{\left(\sum_{k=1}^{n} e^{ikx}\right)} \end{aligned}$$
Ricordando i risultati sulla progressione geometrica di ragione $q=e^{ix}$ si ha
- se $q\ne 1$
$$ \operatorname{Re}{\left(\sum_{k=1}^{n} e^{ikx}\right)} \;=\; \operatorname{Re}{\left(\sum_{k=1}^{n} \left(e^{ix}\right)^k\right)} \;=\; \operatorname{Re}{\left(e^{ix}\frac{1-e^{inx}}{1-e^{ix}}\right)} $$
- se $q=1$ i.e. $x=0+k2\pi$, $k\in\mathbb{Z}$
$$ \operatorname{Re}{\left(\sum_{k=1}^{n} e^{ikx}\right)} \;=\; \operatorname{Re}{\left(\sum_{k=1}^{n} 1\right)} \;=\; n $$
Ora andiamo a semplificare / valutare la prima espressione
Si ha
$$\begin{aligned} 1-e^{inx} &=\; e^{inx/2}\left(e^{-inx/2}-e^{inx/2}\right) \;=\; - 2ie^{inx/2} \left(\frac{e^{inx/2}-e^{-inx/2}}{2i}\right) \\ &=\; -2ie^{inx/2} \sin{(nx/2)}\\[1em] 1-e^{ix} &=\; e^{ix/2}\left(e^{-ix/2}-e^{ix/2}\right) \;=\; -2ie^{ix/2} \sin{(x/2)} \end{aligned}$$
Quindi, per $x\ne k2\pi$ con $k\in\mathbb{Z}$, si ha
$$ e^{ix}\frac{1-e^{inx}}{1-e^{ix}} \;=\; e^{ix} \frac{\cancel{(-2i)}e^{inx/2}}{\cancel{(-2i)}e^{ix/2}} \frac{\sin{(nx/2)}}{\sin{(x/2)}} \;=\; e^{i{n+1\over 2}x} \frac{\sin{(nx/2)}}{\sin{(x/2)}} $$
Per cui, per $x\ne k2\pi$, si ha
$$ \operatorname{Re}{\left(e^{i{n+1\over 2}x} \frac{\sin{(nx/2)}}{\sin{(x/2)}}\right)} \;=\; \cos{\left({n+1\over 2}x\right)} \frac{\sin{(nx/2)}}{\sin{(x/2)}} $$
Quindi la soluzione è
$${ \sum\limits_{k=1}^{n} \cos{(kx)} \;=\; \begin{cases} \cos{\left({n+1\over 2}x\right)} \frac{\sin{(nx/2)}}{\sin{(x/2)}} & \text{ se } x\ne k2\pi,\ k\in\mathbb{Z} \\ n & \text{ se } x= k2\pi,\ k\in\mathbb{Z} \end{cases} }$$
Esercizio 2
Calcolare $${\sum\limits_{k=1}^{n} \sin{(kx)}\;=\;\sin{x}+\sin{(2x)}+\ldots+\sin{(nx)}}$$
Soluzione
Si ha
$$\begin{aligned} \sum\limits_{k=1}^{n} \sin{(kx)} &=\; \sin{x}+\sin{(2x)}+\ldots+\sin{(nx)} \\ &=\; \operatorname{Im}{\left(e^{ix} + e^{i2x} + \ldots + e^{inx}\right)}\\ &=\; \operatorname{Im}{\left(\sum_{k=1}^{n} e^{ikx}\right)} \end{aligned}$$
Ricordando i risultati sulla progressione geometrica di ragione $q=e^{ix}$ si ha
- se $q\ne 1$
$$ \operatorname{Im}{\left(\sum_{k=1}^{n} e^{ikx}\right)} \;=\; \operatorname{Im}{\left(\sum_{k=1}^{n} \left(e^{ix}\right)^k\right)} \;=\; \operatorname{Im}{\left(e^{ix}\frac{1-e^{inx}}{1-e^{ix}}\right)} $$
- se $q=1$ i.e. $x=0+k2\pi$, $k\in\mathbb{Z}$
$$ \operatorname{Im}{\left(\sum_{k=1}^{n} e^{ikx}\right)} \;=\; \operatorname{Im}{\left(\sum_{k=1}^{n} 1\right)} \;=\; 0 $$
Ora andiamo a semplificare / valutare la prima espressione
Dal un risultato intermedio dell'esercizio precedente, si ha
$$ e^{ix}\frac{1-e^{inx}}{1-e^{ix}} \;=\; e^{i{n+1\over 2}x} \frac{\sin{(nx/2)}}{\sin{(x/2)}} $$
Per cui, per $x\ne k2\pi$, si ha
$$ \operatorname{Im}{\left(e^{i{n+1\over 2}x} \frac{\sin{(nx/2)}}{\sin{(x/2)}}\right)} \;=\; \sin{\left({n+1\over 2}x\right)} \frac{\sin{(nx/2)}}{\sin{(x/2)}} $$
Quindi la soluzione è
$${ \sum\limits_{k=1}^{n} \sin{(kx)} = \begin{cases} \sin{\left({n+1\over 2}x\right)} \frac{\sin{(nx/2)}}{\sin{(x/2)}} & \text{ se } x\ne k2\pi,\ k\in\mathbb{Z} \\ 0 & \text{ se } x= k2\pi,\ k\in\mathbb{Z} \end{cases} }$$
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