Teorema di De Moivre

Obiettivo (corso Analisi Matematica 1)

• Potenze con esponente di elevazione "piccolo"
• Formula di De Moivre

Potenze con esponente "piccolo"

Potenza positiva (binomio di Newton)

Se $$z=a+bi$$ allora $$z^{n}$$ con $n\in\mathbb{N}$ si può calcolare con il binomio di Newton e poi semplificare

Ad esempio $$ \begin{aligned} (a+bi)^2 &\;=\; a^2 +2abi -b^2 \;=\; (a^2-b^2) + 2abi \\ (a+bi)^3 &\;=\; a^3 +3a^2bi -3ab^2 -b^3i \;=\; (a^3 -3ab^2 ) + (3a^2b-b^3)i \\ \ldots &\;=\; \ldots \end{aligned} $$

Questo approccio è agevole soltanto se $n$ è piccolo

Potenza negativa

Se $$z=a+bi$$ allora $$z^{-n}={1\over z^{n}}$$ con $n\in\mathbb{N}$ si calcola attraverso la formula

$$ z^{-n} \;=\; \left(z^{n}\right)^{-1} $$

• Si calcola prima la potenza di $z^{n}$ e poi si esegue l'inverso
• Ricordiamo che l'inverso di $z$ è $z^{-1} = {\overline{z}\over \left|z\right|^2}$

Esempio

Dato $z=1+i$ calcolare $$z^3 \quad\color{white}{\text{ e }}\quad z^{-3}$$

Soluzione

Si ha

• $z \;=\; 1+i$
• $z^3 \;=\; (1+i)^3 \;=\; 1+3i+3i^2+i^3 \;=\; 1+3i-3-i \;=\; -2+2i$
• $z^{-3} \;=\; {\overline{z^3}\over \left|z^3\right|^2} \;=\; {-2-2i \over 4+4} \;=\; -{1\over4}-{1\over4}i$

Potenze con esponente "grande"

Formula di De Moivre

Se $z = r\operatorname{cis}\left(\theta\right)$ allora $$ z^{n} \;=\; r^{n}\operatorname{cis}{(n\theta)} $$ con $n\in\mathbb{Z}$

Questa formula è utile per $n$ grande (positivo o negativo)

Per il calcolo richiede il numero espresso in forma trigonometrica

Dimostrazione (per induzione)

Caso: $n=0$

Se $z = r\operatorname{cis}\left(\theta\right)$ allora $$ z^{0} = r^{0}\operatorname{cis}(0\cdot\theta) = 1 \cdot \operatorname{cis}{0} = 1 $$

Caso: $n>1$

• Ipotesi induttiva: $z^{n-1} = r^{n-1} \cdot \operatorname{cis}{\left((n-1)\theta\right)}$
• Dimostrare che $z^{n} = r^{n} \operatorname{cis}{(n\theta)}$

Si ha $$ \begin{aligned} z^{n} &= z^{n-1} \cdot z \\ & = r^{n-1} \cdot \operatorname{cis}{\left((n-1)\theta\right)} \cdot r \cdot \operatorname{cis}{\theta} \\ &\color{white}{\text{(prodotto forma trig.)}}\\ &= r^{n-1} \cdot r \cdot \operatorname{cis}{\left((n-1)\theta + \theta\right)}\\ &= r^{n} \operatorname{cis}{(n\theta)} \end{aligned} $$

Caso: $n<-1$

Ricordiamo che

• $z^{-1} = {\overline{z} \over \left|z\right|^2}$
• $z^{n} = r^{n} \operatorname{cis}{(n\theta)}$

Quindi si ha $$ \begin{aligned} z^{-n} &= {\overline{z^n} \over \left|z^n\right|^2} \;=\; {\overline{{r^{n} \operatorname{cis}{\left(n\theta\right)}} \over \left|r^{n} \operatorname{cis}{\left(n\theta\right)}\right|^2}} \\ &= {r^{n} \operatorname{cis}{\left(-n\theta\right)} \over \big(\left|r^{n}\right| \cdot \left|\operatorname{cis}{n\theta}\right|\big)^2} \;=\; {r^{n} \operatorname{cis}{\left(-n\theta\right)} \over \left|r^{n}\right|^2} \;=\; r^{-n} \operatorname{cis}{\left(-n\theta\right)} \end{aligned} $$

Esempi

Esempio 1

Dato $z={\sqrt{3}\over 2}-{1\over2}i$ calcolare

$$z^{10}$$

Soluzione

La rappresentazione trigonometrica di $z={\sqrt{3}\over 2}-{1\over2}i$ è

• $\left|z\right| \;=\; \sqrt{\left({\sqrt{3}\over 2}\right)^2 + \left(-{1\over2}\right)^2} \;=\; \sqrt{{3\over 4} + {1\over 4}} \;=\; 1$
• $z\in\operatorname{IV}\;\operatorname{quadrante}$ e $\theta \;=\; \arctan{\left({-{1\over2} \over {\sqrt{3}\over 2}}\right)} \;=\; \arctan{\left(-{1\over\sqrt{3}}\right)} \;=\; -{\pi\over6} \;=\; -30^{\circ}$
• $z \;=\; 1 \cdot \operatorname{cis}{\left(-{\pi\over6}\right)} \;=\; \operatorname{cis}{\left(-{\pi\over6}\right)}$

Per il calcolo della potenza, ricordiamo che $\arg{z^{10}}\in (-\pi,\pi]$, quindi si ha

$$z^{10} \;=\; 1^{10} \cdot \operatorname{cis}{\left(-10{\pi\over6}\right)} \;=\; \operatorname{cis}{\left(-{5\over3}\pi\right)} \;=\;\operatorname{cis}{\left(-{5\over3}\pi+2\pi\right)} \;=\; \operatorname{cis}{\left({\pi\over3}\right)}$$

In forma algebrica: $$z^{10} \;=\; {1\over2} + {\sqrt{3}\over2}i$$

Esempio 2

Dato $z=1+i$ calcolare

$$z^{-12}$$

Soluzione

Da $z=1+i$ si ha

• $\left|z\right| \;=\; \sqrt{1^2+1^2} \;=\; \sqrt{2}$
• $z\in\operatorname{I}\;\operatorname{quadrante}$
• $\theta \;=\; \arctan{\left({1\over1}\right)} \;=\; \arctan{1} \;=\; {\pi\over4} \;=\; 45^{\circ}$
• $z \;=\; \sqrt{2} \cdot \operatorname{cis}{\left({\pi\over4}\right)}$
• $z^{-12} \;=\; (\sqrt{2})^{-12} \cdot \operatorname{cis}{\left(-{12\over4}\pi\right)} \;=\; {1\over 2^{6}} \cdot \operatorname{cis}{(-3\pi)} \;=\; {1\over 64} \cdot \operatorname{cis}{\pi} \;=\; -{1\over 64}$

Esempio 3

Trovare la parte reale ed immaginaria del numero complesso

$$z=\left({1+i\over \sqrt{3}-i}\right)^{16}$$

Soluzione

Sia $w = {1+i\over \sqrt{3}-i} = {1+i\over \sqrt{3}-i} \cdot {\sqrt{3}+i \over \sqrt{3}+i} = {(\sqrt{3}-1)+(\sqrt{3}+1)i\over 4}$ allora

• $\left|w\right|\;=\; {\sqrt{\left(\sqrt{3}-1\right)^2+\left(\sqrt{3}+1\right)^2}\over 4} \;=\; {\sqrt{3+1-\cancel{2\sqrt{3}}+3+1+\cancel{2\sqrt{3}}}\over 4} \;=\; {\sqrt{8}\over4} \;=\; {\sqrt{2}\over2}$
• $w\in\operatorname{I}\;\operatorname{quadrante}$ e $\arg{w} \;=\; \arctan{\left({\sqrt{3}+1\over \sqrt{3}-1}\right)} \;=\; {5\pi\over12}$
• $w \;=\; {\sqrt{2}\over2} \operatorname{cis}{\left(5\pi\over12\right)}$

Da $w = {\sqrt{2}\over2} \operatorname{cis}{\left(5\pi\over12\right)}$ si ha

Quindi

e

La soluzione segue da

Ricorda di sostenere questo progetto con una donazione (PayPal.Me/ManoloVenturin).