Esercizi parte 1 sui numeri complessi 1/2

Indice degli esercizi (corso Analisi Matematica 1)

Rappresentare sul piano di Gauss i seguenti numeri complessi:
- $z_1 = 2-i$, $z_2 = 2+2i$, $z_3 = z_1+z_2$, $z_4 = z_2-z_1$, e $z_5 = \overline{z_1}+\overline{z_2}$
Scrivere in forma algebrica i seguenti numeri complessi
- $z_1 = {2-i\over 3-4i}$ e $z_2 = {\sqrt{3}-i \over \sqrt{3}+i}$
Dato il numero complesso $z=\left({1+i\over 1-i}\right)$, trovare
- $\operatorname{Re}(z)$, $\operatorname{Im}(z)$, $\left|z\right|$ e $z^{-1}$
Dati i numeri complessi $z_1 = 1+i$ e $z_2 = 3-4i$ eseguire le seguenti operazioni
- $\left|2 z_1 - z_2\right|$ e $\left|{z_1 \over z_2}\right|$
Dati i numeri complessi $z_1 = 1+i$ e $z_2 = 3-4i$ eseguire le seguenti operazioni
- $z_1^2 + 2 z_2 \left|z_2\right| - \overline{z_1}$ e $\overline{z_1 - z} = z_2$ (trovare $z$)

Soluzione

Esercizio 1

Rappresentare sul piano di Gauss i seguenti numeri complessi:

$z_1 = 2-i$

$z_2 = 2+2i$

$z_3 = z_1+z_2$

$z_4 = z_2-z_1$

$z_5 = \overline{z_1}+\overline{z_2}$

Soluzione

Si ha

$z_1 \;=\; 2-i$
$z_2 \;=\; 2+2i$
$z_3 \;=\; z_1+z_2 \;=\;(2-i)+(2+2i) \\quad\,=\; 4+i$
$z_4 \;=\; z_2-z_1 \;=\; (2+2i) - (2-i) \\quad\,=\; 3i$
$z_5 \;=\; \overline{z_1}+\overline{z_2} \;=\; \overline{z_1+z_2} \;=\; \overline{z_3} \\quad \,=\; 4-i$

Esercizio 2

Scrivere in forma algebrica i seguenti numeri complessi

$z_1 = {2-i\over 3-4i}$

$z_2 = {\sqrt{3}-i \over \sqrt{3}+i}$

Soluzione

Si ha

$$ z_1 \;=\; {2-i\over 3-4i} \cdot {3+4i\over 3+4i} \;=\; {(2-i)(3+4i)\over 9+16} \;=\; {6+8i-3i+4\over 25} \;=\; {10+5i\over 25} \;=\; {2+i\over5} $$

$$ z_1 \;=\; {\sqrt{3}-i \over \sqrt{3}+i} \cdot {\sqrt{3}-i\over \sqrt{3}-i} \;=\; {\left(\sqrt{3}-i\right)^2\over 3+1} \;=\; {3-2\sqrt{3}i-1\over 4} \;=\; {2-2\sqrt{3}i\over 4} \;=\; {1-\sqrt{3}\over2} $$

Esercizio 3

Dato il numero complesso $z=\left({1+i\over 1-i}\right)$, trovare

$\operatorname{Re}(z)$ e $\operatorname{Im}(z)$

$\left|z\right|$

$z^{-1}$

Soluzione

Scriviamo il numero in forma algebrica:

$$ z \;=\; \left({1+i\over 1-i}\right) \cdot \left({1+i\over 1+i}\right) \;=\; \left({\cancel{1}+2i+\cancel{i^2} \over 1+1}\right) \;=\; {\cancel{2}i \over \cancel{2}} \;=\; i $$

da cui

$$\operatorname{Re}\left(i\right) = 0 \quad,\quad \operatorname{Im}\left(i\right) = 1 \quad,\quad \left|i\right| = 1 \quad,\quad z^{-1} = {\overline{z}\over\left|z\right|^2} = -i$$

Esercizio 4

Dati i numeri complessi $z_1 = 1+i$ e $z_2 = 3-4i$ eseguire le seguenti operazioni

$\left|2 z_1 - z_2\right|$

$\left|{z_1 \over z_2}\right|$

Soluzione

Si ha

$2 z_1 - z_2 \;=\; 2 \left(1+i\right) - (3-4i) \;=\; 2+2i-3+4i \;=\; -1+6i$
$\left|2 z_1 - z_2\right| \;=\; \sqrt{1+36} \;=\; \sqrt{37}$
${z_1 \over z_2} \;=\; {1+i\over 3-4i} \;=\; {1+i\over 3-4i}\cdot{3+4i\over 3+4i} \;=\;{(1+i)(3+4i)\over 25} \;=\; {-1+7i\over 25}$
$\left|{z_1 \over z_2}\right| \;=\; \left|{-1+7i\over 25}\right| \;=\; {\left|-1+7i\right|\over 25} \;=\; {\sqrt{1+49}\over 25} \;=\; {\sqrt{2}\over5}$

Esercizio 5

Dati i numeri complessi $z_1 = 1+i$ e $z_2 = 3-4i$ eseguire le seguenti operazioni

$z_1^2 + 2 z_2 \left|z_2\right| - \overline{z_1}$

trovare $z$ tale che $\overline{z_1 - z} = z_2$

Soluzione 1

Si ha

$z_1^2 \;=\; \left(1+i\right)^2 \;=\; 1+2i+i^2 \;=\; 1+2i-1 \;=\; 2i$
$2 z_2 \left|z_2\right| \;=\; 2 (3-4i)\sqrt{9+16} \;=\; 2 (3-4i) 5 \;=\; 10(3-4i) \;=\; 30 -40i$
$-\overline{z_1} \;=\; -(1-i) \;=\; -1+i$
$z_1^2 + 2 z_2 \left|z_2\right| - \overline{z_1} \;=\; 2i + 30 -40i -1+i \;=\; 29 -37 i$

Soluzione 2

Si ha

$\overline{z_1 - z} \;=\; z_2 \;\implies\; z_1 - z \;=\; \overline{z_2} \;\implies\; z \;=\; z_1 - \overline{z_2}$
$z = (1+i)-\overline{3-4i} \;=\; (1+i) - (3+4i) \;=\; -2 -3i$

Nota: Si poteva risolvere anche ponendo $z=a+bi$ e risolvendo il sistema di equazioni che ne risultava (uguagliando le parti reali e immaginarie), ma questo procedimento era sicuramente più lento

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