Dimostrazioni delle proprietà del coniugato

Indice (corso Analisi Matematica 1)

Dimostrazioni relative al coniugato

1. $\overline{z+w} = \overline{z} + \overline{w}$
2. $\overline{z \cdot w} = \overline{z} \cdot \overline{w}$
3. $\overline{z^{-1}} = \overline{z}^{-1}$
4. $\overline{\left({z\over w}\right)} = {\overline{z} \over \overline{w}}$
5. $\operatorname{Re}(z) = {z + \overline{z} \over 2}$
6. $\operatorname{Im}(z) = {z - \overline{z} \over 2i}$
7. $|z|^{2} = z \cdot \overline{z}$

Dimostrazioni

Proprietà del coniugato [1]

Dimostrare che

$$\overline{z+w} = \overline{z} + \overline{w}$$

Dimostrazione

Sia $z=a+bi$ e $w=c+di$, allora $$ \begin{aligned} \overline{z+w} &= \overline{(a+bi) + (c+di)} \\ &= \overline{(a+c) + (b+d)i} \\ &= (a+c) - (b+d)i \\ &= (a-bi) + (c-di) \\ &= \overline{a+bi} + \overline{c+di} \;=\; \overline{z} + \overline{w} \end{aligned} $$

Proprietà del coniugato 2

Dimostrare che

$$\overline{z \cdot w} = \overline{z} \cdot \overline{w}$$

Dimostrazione

Sia $z=a+bi$ e $w=c+di$, allora $$ \begin{aligned} \overline{z \cdot w} &= \overline{(a+bi) \cdot (c+di)} \\ &= \overline{(ac-bd) + (ad+bc)i} \\ &= (ac-bd) - (ad+bc)i \\ &= (ac-adi) - (bd+bci) \\ &= a(c-di) - bi(c-di) \\ &= (a-bi) \cdot (c-di) \\ &= \overline{a+bi} \cdot \overline{c+di} \;=\; \overline{z} \cdot \overline{w} \end{aligned} $$

Proprietà del coniugato 3

Dimostrare che

$$\overline{z^{-1}} = \overline{z}^{-1}$$

Dimostrazione

Da $z^{-1} \cdot z = 1$ si ha $\overline{z^{-1} \cdot z} = 1$ e quindi dalla proprietà del prodotto ($\overline{z \cdot w} = \overline{z} \cdot \overline{w}$) da cui segue $$ \overline{z^{-1}} \cdot \overline{z} = 1 $$

Confrontando la relazione precedente con la relazione $\overline{z}^{-1} \cdot \overline{z} = 1$, si ha $$ \begin{cases} \overline{z^{-1}} \cdot \overline{z} = 1 \\ \overline{z}^{-1} \cdot \overline{z} = 1 \end{cases} \;\implies\; \overline{z^{-1}} = \overline{z}^{-1} $$

Proprietà del coniugato 4

Dimostrare che

$$\overline{\left({z\over w}\right)} = {\overline{z} \over \overline{w}}$$

Dimostrazione

$$ \begin{aligned} \overline{\left({z\over w}\right)} &= \overline{z \cdot w^{-1}} \\ &= \overline{z} \cdot \overline{w^{-1}} \\ &= \overline{z} \cdot \overline{w}^{-1} \;=\; {\overline{z} \over \overline{w}} \end{aligned} $$

Proprietà del coniugato 5

Dimostrare che

$$\operatorname{Re}(z) = {z + \overline{z} \over 2}$$

Dimostrazione

Sia $z=a+bi$ allora

• $\operatorname{Re}(z) = a$
• $\overline{z} = a-bi$
• ${z + \overline{z} \over 2} = {(a+\cancel{bi}) + (a-\cancel{bi})\over 2 } = {\cancel{2}a \over \cancel{2}} = a$

da cui la tesi

Proprietà del coniugato 6

Dimostrare che

$$\operatorname{Im}(z) = {z - \overline{z} \over 2i}$$

Dimostrazione

Sia $z=a+bi$ allora

• $\operatorname{Im}(z)= b$
• $\overline{z} = a-bi$
• ${z - \overline{z} \over 2i} = {(\cancel{a}+bi) - (\cancel{a}-bi)\over 2i} = {\cancel{2}b\cancel{i} \over \cancel{2i}} = b$

da cui la tesi

Proprietà del coniugato 7

Dimostrare che

$$|z|^{2} = z \cdot \overline{z}$$

Dimostrazione

Sia $z=a+bi$ allora

• $|z|^{2} = \left(\sqrt{a^2+b^2}\right)^2 = a^2+b^2$
• $\overline{z} = a-bi$
• $z \cdot \overline{z} = (a+bi) \cdot (a-bi) = a^2 + b^2$

da cui la tesi

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