Coniugato e modulo di un numero complesso

Obiettivo (corso Analisi Matematica 1)

• Coniugato e sue proprietà
• Modulo e sue proprietà
• Esempi

Coniugato

Se $z=a+bi$ il coniugato è definito come $$ \overline{z} = a-bi $$

Osserviamo che

• $z$ e $\overline{z}$ hanno
  • la stessa parte reale $\operatorname{Re}(z_1) = \operatorname{Re}(z_1)$
  • opposta la parte immaginaria $\operatorname{Im}(z_1) = -\operatorname{Im}(z_2)$
• altre notazioni comuni sono $z^{\ast}$ oppure $\operatorname{conj}(z)$

Modulo

Se $z=a+bi$ il modulo (o valore assoluto) è definito come $$ \left|z\right| = \sqrt{a^2+b^2} $$

Osserviamo che

• se $z$ è reale, i.e. $\operatorname{Im}(z) =0$, allora il modulo coincide con la definizione di valore assoluto di un numero reale $\left|x\right|=\sqrt{x^2}$
• $\left|z\right| \geq 0$

Proprietà del coniugato

1. $\overline{z+w} = \overline{z} + \overline{w}$
2. $\overline{z \cdot w} = \overline{z} \cdot \overline{w}$
3. $\overline{\left({1\over z}\right)} = {1 \over \overline{z}}$ e $\overline{\left({z\over w}\right)} = {\overline{z} \over \overline{w}}$

1. Legame con la parte reale: $\operatorname{Re}(z) = {z + \overline{z} \over 2} \;\implies\; z + \overline{z} = 2\operatorname{Re}(z)$
2. Legame con la parte immaginaria: $\operatorname{Im}(z) = {z - \overline{z} \over 2i} \;\implies\; z - \overline{z} = 2i\operatorname{Im}(z)$
3. Legame con il modulo e l'inverso: $|z|^{2} = z \cdot \overline{z}$, e dunque se $z\ne0$ si ha $z^{-1} = {\overline{z} \over |z|^2}$

Dimostrazioni prossimi video

Proprietà del modulo

1. $z=0$ sse $\left|z\right|=0$
2. $\left|{z \cdot w}\right| = \left|z\right| \cdot \left|w\right|$
3. Se $w\neq 0$ allora $\left|{z\over w}\right| = {\left|z\right| \over \left|w\right|}$

1. $\operatorname{Re}(z) \leqslant \left|\operatorname{Re}(z)\right| \leqslant \left|z\right|$
2. $\operatorname{Im}(z) \leqslant \left|\operatorname{Im}(z)\right| \leqslant \left|z\right|$

1. $\left|z\right| \leqslant \left|\operatorname{Re}(z)\right| + \left|\operatorname{Im}(z)\right|$
2. $\left|z+w\right| \leqslant \left|z\right| + \left|w\right|$ (disuguaglianza triangolare)
3. $\big|\left|z\right| - \left|w\right|\big| \leqslant \left|z-w\right|$ (disuguaglianza triangolare inversa)

Esempi

Esempio 1

Calcolare il modulo e il coniugato di

$$z=1-2i$$

e verificare che $\overline{\overline{z}} = z$

Soluzione

Da $z=1-2i$ si ha

• $\left|z\right| \;=\; \left|1-2i\right| \;=\; \sqrt{1^2+(-2)^2} \;=\; \sqrt{1+4} \;=\; \sqrt{5}$
• $\overline{z} \;=\; 1+2i$
• $\overline{\overline{z}} \;=\; \overline{1+2i} \;=\; 1-2i \;=\; z$

Esempio 2

Dati $z=1-2i$ e $w = 2+i$, verificare le seguenti proprietà del coniugato

1. $\overline{z+w} = \overline{z} + \overline{w}$

2. $\overline{z \cdot w} = \overline{z} \cdot \overline{w}$

3. $\overline{\left({z\over w}\right)} = {\overline{z} \over \overline{w}}$

Soluzione 1

Da $z=1-2i$, $w = 2+i$ si ha

• $z+w \;=\; (1-2i) + (2+i) \;=\; 3 - i$
• $\overline{z+w} \;=\; \overline{3 - i} \;=\; 3 + i$
• $\overline{z} \;=\; \overline{1-2i} \;=\; 1+2i$
• $\overline{w} \;=\; \overline{2+i} \;=\; 2-i$
• $\overline{z} + \overline{w} \;=\; (1+2i) + (2-i) \;=\; 3 +i$

da cui $\overline{z+w} = \overline{z} + \overline{w}$

Soluzione 2

Da $z=1-2i$, $w = 2+i$ si ha

• $z \cdot w \;=\; (1-2i) \cdot (2+i) \;=\; 2+i -4i -2i^2 \;=\; 4 - 3i$
• $\overline{z \cdot w} \;=\; \overline{4 - 3i} \;=\; 4 + 3i$
• $\overline{z} \;=\; \overline{1-2i} \;=\; 1+2i$
• $\overline{w} \;=\; \overline{2+i} \;=\; 2-i$
• $\overline{z} \cdot \overline{w} \;=\; (1+2i) \cdot (2-i) \;=\; 2-i +4i-2i^2 \;=\; 4 + 3i$

da cui $\overline{z \cdot w} = \overline{z} \cdot \overline{w}$

Soluzione 3

Da $z=1-2i$, $w = 2+i$ si ha

• ${z \over w} \;=\; {1-2i \over 2+i} \;=\; {1-2i \over 2+i} \cdot {2-i \over 2-i} \;=\; {2-4i-i+2i^2 \over 4-i^2} \;=\; {0 -5i \over 5} \;=\; -i$
• $\overline{z} \;=\; \overline{1-2i} \;=\; 1+2i$
• $\overline{w} \;=\; \overline{2+i} \;=\; 2-i$
• $\overline{\left({z\over w}\right)} \;=\; \overline{-i} \;=\; i$
• ${\overline{z} \over \overline{w}} \;=\; {1+2i \over 2-i} \;=\; {1+2i \over 2-i} \cdot {2+i \over 2+i} \;=\; {2+4i+i+2i^2 \over 4-i^2} \;=\; {0 +5i \over 5} \;=\; i$

da cui $\overline{\left({z\over w}\right)} = {\overline{z} \over \overline{w}}$

Esempio 3

Dato $z=1-2i$, utilizzando le proprietà del coniugato, calcolare

• $\operatorname{Re}(z)$

• $\operatorname{Im}(z)$

• $\left|z\right|$

• $z^{-1}$

Soluzione

• $\overline{z} \;=\; 1+2i$
• $\operatorname{Re}(z) \;=\; {z + \overline{z} \over 2} \;=\; {(1-\cancel{2i}) + (1+\cancel{2i}) \over 2} \;=\; {2 \over 2} = 1$
• $\operatorname{Im}(z) \;=\; {z - \overline{z} \over 2i} \;=\; {(\cancel{1}-2i) - (\cancel{1}+2i) \over 2i} \;=\; {-4i \over 2i} \;=\; -2$
• $\left|z\right|^2 \;=\; z \cdot \overline{z} \;=\; (1-2i) \cdot (1+2i) \;=\; 1 + 2^2 \;=\; 5 \;\implies\; \left|z\right|=\ \sqrt{5}$
• $z^{-1} \;=\; {\overline{z} \over \left|z\right|^2} \;=\; {1+2i \over 5}$
• Verifica inverso: $z \cdot z^{-1} \;=\; (1-2i) \cdot {1+2i \over 5} \;=\; {1-4i^2 \over 5} \;=\; 1 \;=\; 1 +0i$

Esempio 4

Dati i numeri complessi $z=1-2i$ e $w = 2+i$, verificare le seguenti proprietà del modulo

1. $\left|z \cdot w\right| = \left|z\right| \cdot \left|w\right|$

2. $\left|{z\over w}\right| = {\left|z\right|\over \left|w\right|}$

3. $\left|z+w\right| \leqslant \left|z\right| + \left|w\right|$

4. $\big|\left|z\right| - \left|w\right|\big| \leqslant \left|z-w\right|$

Soluzione 1

Da $z=1-2i$ e $w = 2+i$, si ha

• $z \cdot w \;=\; (1-2i) \cdot (2+i) \;=\; 2+i -4i -2i^2 \;=\; 4 - 3i$
• $\left|z \cdot w\right| \;=\; \left|4 - 3i\right| \;=\; \sqrt{16+9} \;=\; 5$
• $\left|z\right| \;=\; \left|1-2i\right| \;=\; \sqrt{1+4} \;=\; \sqrt{5}$
• $\left|w\right| \;=\; \left|2+i\right| \;=\; \sqrt{4+1} \;=\; \sqrt{5}$
• $\left|z\right| \cdot \left|w\right| \;=\; \sqrt{5} \cdot \sqrt{5} \;=\; 5$

da cui $\left|z \cdot w\right| = \left|z\right|\cdot \left|w\right|$

Soluzione 2

Da $z=1-2i$ e $w = 2+i$, si ha

• ${z \over w} \;=\; {1-2i \over 2+i} \;=\; {1-2i \over 2+i} \cdot {2-i \over 2-i} \;=\; {2-4i-i+2i^2 \over 4-i^2} \;=\; {0 -5i \over 5} \;=\; -i$
• $\left|{z\over w}\right| \;=\; \left|i\right| \;=\; 1$
• $\left|z\right| \;=\; \left|1-2i\right| \;=\; \sqrt{1+4} \;=\; \sqrt{5}$
• $\left|w\right| \;=\; \left|2+i\right| \;=\; \sqrt{4+1} \;=\; \sqrt{5}$
• ${\left|z\right| \over \left|w\right|} \;=\; {\sqrt{5}\over \sqrt{5}} \;=\; 1$

da cui $\left|{z\over w}\right| = {\left|z\right| \over \left|w\right|}$

Soluzione 3

Da $z=1-2i$ e $w = 2+i$, si ha

• $z+w = (1-2i) + (2+i) = 3 - i$
• $\left|z+w\right| \;=\; \left|3 - i\right| \;=\; \sqrt{9+1} \;=\; \sqrt{10} \;=\; \sqrt{2} \cdot \sqrt{5}$
• $\left|z\right|\;=\; \left|1-2i\right| \;=\; \sqrt{1+4} \;=\; \sqrt{5}$
• $\left|w\right| \;=\; \left|2+i\right| \;=\; \sqrt{4+1} \;=\; \sqrt{5}$
• $\left|z\right| + \left|w\right| \;=\; \sqrt{5} + \sqrt{5} \;=\; 2\sqrt{5}$
• $\left|z+w\right| \leqslant \left|z\right| + \left|w\right| \;\implies\; \sqrt{2} \cdot \sqrt{5} \leqslant 2\sqrt{5}$ vera

da cui $\left|z+w\right| \leqslant \left|z\right|+ \left|w\right|$

Soluzione 4

Da $z=1-2i$ e $w = 2+i$, si ha

• $\left|z\right| \;=\; \left|1-2i\right| \;=\; \sqrt{1+4} \;=\; \sqrt{5}$
• $\left|w\right| \;=\; \left|2+i\right| \;=\; \sqrt{4+1} \;=\; \sqrt{5}$
• $\left|\left|z\right| - \left|w\right|\right| \;=\; \left|\sqrt{5} - \sqrt{5}\right| \;=\; 0$
• $z-w \;=\; (1-2i) - (2+i) = (1-2) + (-2-1)i \;=\; -1-3i$
• $\left|z-w\right| \;=\; \left|-1-3i\right| \;=\; \sqrt{1+9} \;=\; \sqrt{10}$

da cui $\big|\left|z\right|- \left|w\right|\big| \leqslant \left|z-w\right|$

Ricorda di sostenere questo progetto con una donazione (PayPal.Me/ManoloVenturin).