Operazioni algebriche con i numeri complessi

Obiettivo (corso Analisi Matematica 1)

Somma / Opposto / Differenza
Prodotto / Inverso / Quoziente
Esempi

Somma

Se $z_1 = a + b i$ e $z_2 = c + d i$ si definisce la somma come $$ \begin{aligned} z_1 + z_2 &= (a + bi) + (c + di) \\ &= (a + c) + (b + d)i \end{aligned} $$

Si esegue la somma delle parti reali e delle parte immaginarie

Opposto

Se $z = a + bi$ si definisce l'opposto come $$ \begin{aligned} -z &= - (a + bi)\\ &= (-a) + (-b) i \end{aligned} $$

Si esegue l'opposto della parte reale e della parte immaginaria

Proprietà: $z+(-z) \;=\; (-z) + z \;=\; 0+0i = 0$ (elemento neutro dell'addizione)

Differenza

Se $z_1 = a + bi$ e $z_2 = c + di$ si definisce la differenza come $$ \begin{aligned} z_1 - z_2 &= z_1 + (-z_2) \\ &= (a + bi)+(-c - di) \\ &= (a - c) + (b - d)i \end{aligned} $$

La differenza è la somma con l'opposto

Prodotto

Se $z_1 = a + b i$ e $z_2 = c + d i$ si definisce il prodotto come $$ \begin{aligned} z_1 \cdot z_2 &= (a + bi) \cdot (c + di) \\ &= ac + adi + bci + bdi^2 \\ &= ac + adi + bci - bd \\ &= (ac - bd) + (ad + bc)i \end{aligned} $$

Inverso

Se $z=a+bi$, con $z\ne0$, si ha $$ \begin{aligned} z^{-1} &= (a+bi)^{-1} = {1\over a+bi} &&\\ &= {1\over a+bi} \cdot {a-bi \over a-bi} &&\color{white}{\text{(razionalizzando)}}\\ &= {a-bi \over a^2+b^2}&& \end{aligned} $$

Proprietà: $z \cdot z^{-1} \;=\; z^{-1}\cdot z \;=\; 1+0i = 1$ (elemento neutro della moltiplicazione)

Quoziente

Se $z_1 = a + bi$ e $z_2 = c + di \ne 0$ si definisce il quoziente come $$ {z_1 \over z_2} \;=\; z_1 \cdot z_2^{-1} \;=\; z_2^{-1} \cdot z_1 $$

Operazioni di $\mathbb{R}$ in $\mathbb{C}$

Se $z_1 = a + 0i$ e $z_2 = c + 0i$ si ha:

Somma e differenza: $$z_1 \pm z_2 \;=\; (a + 0i) \pm (c + 0i) \;=\; (a \pm c) + 0i$$
Prodotto: $$z_1 \cdot z_2 \;=\; (a + 0i) \cdot (c + 0i) \;=\; ac + 0i$$
Divisione (se $z_2 = c + 0i \ne 0$ i.e. $c \ne 0$): $$(a + 0i) \cdot (c + 0i)^{-1} \;=\; (a + 0i) \cdot \left({1\over c} + 0i\right) \;=\; {a\over c} + 0i$$

Quindi, si possono estendere a $\mathbb{C}$ tutte le operazioni algebriche di $\mathbb{R}$ usando le medesime notazioni

Esempi

Esempio 1

Dati i numeri complessi $z_1 = 1-2i$ e $z_2 = 2+i$ calcolare

$z_1 + z_2$

$z_1 - z_2$

Soluzione

Da $z_1 = 1-2i$ e $z_2 = 2+i$ si ha

somma:

$$z_1 + z_2 \;=\; (1-2i) + (2+i) \;=\; (1+2) + (-2+1)i \;=\; 3 - i$$

opposto:

$$-z_2 \;=\; -(2+i) \;=\; -2-i$$

verifica dell'opposto: $z_2 + (-z_2) \;=\; (2+i) + (-2-i) \;=\; 0+0i = 0$
differenza:

$$z_1 - z_2 \;=\; z_1 +(- z_2) \;=\; (1-2i) + (-2-i) \;=\; (1-2) + (-2-1)i \;=\; -1 - 3i$$

Esempio 2

Dati i numeri complessi $z_1 = 2+i$ e $z_2 = 1+2i$ calcolare

$z_2^{-1}$

${z_1 \over z_2}$

Soluzione

Da $z_1 = 2+i$ e $z_2 = 1+2i$ si ha

inverso di $z_2$:

$$ z_2^{-1} \;=\; {1 \over z_2} \;=\; {1 \over 1+2i} \;=\; {1 \over 1+2i} \cdot {1-2i \over 1-2i} \;=\; {1-2i \over 1+4} \;=\; {1-2i \over 5} $$

verifica dell'inverso:

$$z_2 \cdot z_2^{-1} \;=\; z_2^{-1} \cdot z_2 \;=\; (1+2i) \cdot {1-2i \over 5} \;=\; {1 -\cancel{2i} +\cancel{2i} -4i^2 \over 5} \;=\; {1+0i}$$

calcolo di ${z_1 \over z_2}$:

$$ {z_1 \over z_2} \;=\; (2+i) \cdot {1-2i \over 5} \;=\; {2 -4i +i -2i^2 \over 5} \;=\; {2+2 +(-4+1)i \over 5} \;=\; {4 -3i \over 5} \;=\; {4\over5}-{3\over5}i $$

Esempio 3

Dati i numeri complessi $z_1 = 2+i$ e $z_2 = 1+2i$ trovare $z$ tale che

$$\overline{z} = z_1-z_2$$

Soluzione

Da $z_1 = 2+i$ e $z_2 = 1+2i$ si ha
$$z_1 - z_2 = (2+i) - (1+2i) = 1 - i$$

Se $z = a+bi$ allora $\overline{z} = a-bi$, e l'equazione $\overline{z} = z_1-z_2$ diventa $$ a-bi = 1 - i \;\implies\; (a-1) + (-b+1)i = 0 = 0 + 0i $$

Uguagliando le parti reali e immaginarie dell'equazione si ha

$$ \begin{cases} a-1 = 0\\ -b+1 = 0 \end{cases} \;\implies\; \begin{cases} a = 1\\ b = 1 \end{cases} \;\implies\; z=1+i $$

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