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Forma algebrica di un numero complesso

Obiettivo (corso Analisi Matematica 1)

  • Definizione di numero complesso e di parte reale e immaginaria
  • Numeri complessi coniugati
  • Uguaglianza e zero
  • Estensione dei reali nei complessi
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    • Definizione di numero complesso e di parte reale e immaginaria

    L'insieme dei numeri complessi è definito come: $$ \mathbb{C}= \left\{z\colon z = a + bi,\, a,\ b\in\mathbb{R},\ i^2=-1\right\} $$

    • $a = \operatorname{Re}(z)$: è detta parte reale
    • $b = \operatorname{Im}(z)$ è detta parte immaginaria
    • se $b=0$ si ottiene un numero reale (con parte immaginaria nulla)
    • se $a=0$ si ottiene un numero immaginario puro (con parte reale nulla)

    Numeri complessi coniugati

    Due numeri complessi $z_1$ e $z_2$ si dicono complessi coniugati, i.e. $z_1 = \overline{z_2}$ sse

    • hanno la stessa parte reale, i.e. $\operatorname{Re}(z_1)=\operatorname{Re}(z_2)$
    • hanno la parte immaginaria opposta, i.e. $\operatorname{Im}(z_1)=-\operatorname{Im}(z_2)$

    Allora, se $z$ è della forma $$ z=a+bi $$ il suo complesso coniugato $\overline{z}$ sarà della forma $$ \overline{z} =a-bi $$


    Uguaglianza

    Due numeri complessi $z_1$ e $z_2$ si dicono uguali, i.e. $z_1 = z_2$, se hanno:

    • la stessa parte reale, $\operatorname{Re}(z_1)=\operatorname{Re}(z_2)$
    • la stessa parte immaginaria, $\operatorname{Im}(z_1)=\operatorname{Im}(z_2)$

    Zero

    • Scrittura abbreviata: $0 = 0 + 0i$
    • Uguale a zero: $z=0$ sse $\operatorname{Re}(z)=0$ e $\operatorname{Im}(z)=0$
    • Diverso da zero: $z\ne0$ sse $\operatorname{Re}(z)\ne0$ o $\operatorname{Im}(z)\ne0$

    Estensione dei reali nei complessi

    I numeri reali sono un sottoinsieme dei numeri complessi, $\mathbb{R} \subset \mathbb{C}$, i.e. sono della forma: $$ z = a + 0i $$ con la parte immaginaria nulla, i.e. $\operatorname{Im}(z)=0$



    Esempi



    Esempio 1

    Dato il numero complesso $z = 1 - 2i$ calcolare

    • $\operatorname{Re}(z)$
    • $\operatorname{Im}(z)$
    • $\overline{z}$

    Soluzione

    Da $z = 1 - 2i$ si ha

    • $\operatorname{Re}(z)= 1$
    • $\operatorname{Im}(z) = -2$
    • $\overline{z} = 1 + 2i$

    Esempio 2

    Fattorizzare, nel campo dei numeri complessi, l'equazione di secondo grado (con $\Delta<0$)

    $$z^{2}-2z+5=0$$

    ed eseguirne la verifica

    Soluzione

    Le radici di $z^{2}-2z+5=0$ sono $$ \begin{aligned} z_{1,2} &= \frac{2\pm {\sqrt {4-4\cdot1\cdot5}}}{2} \;=\; \frac{2\pm {\sqrt{-16}}}{2} \;=\; \frac{2\pm{\sqrt{-1}\cdot\sqrt{16}}}{2} \;=\; 1 \pm 2i \end{aligned} $$

    Nota: Spiegheremo meglio in seguito che $\pm\sqrt{-1} = \pm i$ (radici di un numero complesso)


    Le soluzioni $z_{1,2} = 1 \pm2i$ sono complesse coniugate della forma: $z = a \pm bi$ dove:

    • la parte reale è $\operatorname{Re}(z_1) = \operatorname{Re}(z_2) = a = 1$
    • la parte immaginaria è $\operatorname{Im}(z_1) = \operatorname{Im}(z_2) = b = 2$

    Per la verifica della fattorizzazione si ha $$ \begin{aligned} z^{2}-2z+5 &= 1 \cdot (z-z_1)\cdot(z-z_2) \\ &= \left[z - (1 + 2i) \right] \cdot \left[z - (1 - 2i) \right] \\ &=\color{white}{\text{(verifica)}}\\ &= z^2 + \left[-(1-\cancel{2i})-(1+\cancel{2i})\right]z + \left[(1+2i)\cdot(1-2i)\right]\\ &= z^2 -2z + \left(1 -\cancel{2i} +\cancel{2i} -4i^2\right) \\ &= z^{2}-2z+\big(1-4\cdot(-1)\big) \;=\; z^{2}-2z+5 \end{aligned} $$

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