Introduzione ai numeri complessi

Obiettivo (corso Analisi Matematica 1)

Soluzione di un'equazione di II grado
Soluzione di un'equazione di III grado
Elevamento a potenza

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Soluzione di un'equazione di II grado

L'equazione $$ax^2 + bx + c = 0$$ dove $$\Delta = b^2-4ac$$ ha tre tipologie di soluzioni:

se $\Delta>0$: ha due soluzioni reali distinte della forma $x_{1,2} = \frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$
se $\Delta=0$: ha due soluzioni reali coincidenti (soluzione doppia) della forma $x_{1,2} = -\frac{b}{2a}$
se $\Delta<0$: non ha nessuna soluzione reale (equazione impossibile)

Come trattare il caso $\Delta<0$?

Soluzione di un'equazione di II grado

Ad esempio, l'equazione $$x^2+1=0 \;\Longleftrightarrow\; x^2=-1$$ non ha soluzioni in $\mathbb{R}$

Ma, introducendo il simbolo $i$ detto unità immaginaria t.c. $$i^2 = -1$$ possiamo dare un senso a $\sqrt{-1}=\pm i$ e quindi scrivere la soluzione dell'equazione come $$x^2=-1 \;\Longleftrightarrow\; x=\pm \sqrt{-1} \;\Longleftrightarrow\; x=\pm i$$

Inoltre, vale la fattorizzazione $$ (x-i)\cdot(x+i) \;=\; x^2 -i^2 \;=\; x^2+1 $$

Equazione di III grado

Un esempio di necessità di lavorare con i numeri complessi, viene dall'usare la formula di Cardano per il calcolo della radice dell'equazione di terzo grado

Ad esempio, l'equazione $$ x^3 = 15x+4 $$ ha le radici

$x=4$ (i.e. $4^3 = 15 \cdot 4 + 4$)
$x=-2\pm \sqrt{3}$

Applicando la formula risolutiva di Cardano si ottiene $$ x = \sqrt[3]{2 +11\sqrt{-1}} + \sqrt[3]{2-11\sqrt{-1}} $$

Come calcolare/trattare questo tipo di operazioni?

Per risolvere/semplificare l'espressione precedente $$ x = \sqrt[3]{2 +11\sqrt{-1}} + \sqrt[3]{2-11\sqrt{-1}} $$ osserviamo che

$2 + 11\sqrt{-1} \;=\; 2 + 11i \;=\; (2+i)^3$
$2 - 11\sqrt{-1} \;=\; 2 - 11i \;=\; (2-i)^3$

Infatti, da $i^2=-1$ si ha

$(2+i)^3 \;=\; 2^3 + 3 \cdot 2^2 \cdot i + 3 \cdot 2 \cdot i^2 + i^3 \;=\; 8 + 12i - 6 + (i^2)i \;=\; 2+11i$
$(2-i)^3 \;=\; 2^3 - 3 \cdot 2^2 \cdot i + 3 \cdot 2 \cdot i^2 - i^3 \;=\; 8 - 12i - 6 - (i^2)i \;=\; 2 -11i$

Quindi, la soluzione diventa $$ \begin{aligned} x &= \sqrt[3]{2 +11\sqrt{-1}} + \sqrt[3]{2-11\sqrt{-1}} \\ &= \sqrt[\cancel{3}]{(2+i)^{\cancel{3}}} + \sqrt[\cancel{3}]{(2-i)^{\cancel{3}}} \\ &= (2+\cancel{i}) + (2-\cancel{i}) \\ &= 4 \end{aligned} $$

Elevamento a potenza

Una ragione di natura algebrica è l'elevamento a potenza $a^b$ della forma $a^{{m\over n}} \;=\; \sqrt[n]{a^{m}}$ con $b={m\over n}$

Dalla scrittura ${\displaystyle a^{m\over n} = \left(a^{m}\right)^{1\over n} = \left(a^{1\over n}\right)^{m}}$ l'elevamento a potenza $a^b$ è ben definito per

$a$ positivo e $b$ qualunque (anche un numero reale)
$a$ negativo soltanto se $b={m\over n}$ con $n$ intero dispari

$$ \sqrt[-n]{a} = a^{1\over -n} = {1\over a^{1\over n}} = {1 \over \sqrt[n]{a}} $$

Come estendere questi concetti in modo opportuno?
Come si definisce la radice di un numero complesso?

Ad esempio, osserviamo che

$1^4 = 1$
$(-1)^4 = 1$
$i^4 = (i^2)^2 = (-1)^2 = 1$
$(-i)^4 = ((-i)^2)^2 = 1^2 = 1$

Quindi, le radici quarte di $1$, nel campo complesso, sono quattro: $\sqrt[4]{1} = \left\{\pm1,\,\pm i\right\}$

Quindi, il problema di trovare $\sqrt[4]{1}$ è legato al problema di risolvere l'equazione $z^4 = 1$, da cui $$ z^4 - 1 = 0 \;\Longleftrightarrow\; (z^2 - 1)(z^2+1) = 0 \;\Longleftrightarrow\; (z-1)(z+1)(z-i)(z+i) = 0 $$

Struttura dei video: 3 parti

Parte I

Forma algebrica e relative operazioni
Coniugato e modulo e relative proprietà
Definizione assiomatica
Rappresentazione grafica e ordinamento

Parte II

Rappresentazione trigonometrica
Potenza --- teorema di De Moivre
Le radici n-esime
Esponenziale complesso
Rappresentazione esponenziale

Parte III

Luoghi geometrici notevoli
Equazioni algebriche
Disequazioni algebriche

Prerequisiti

Funzioni trigonometriche (rappr. trig. e radici n-esime)
Funzione esponenziale (rappr. esponenziale)
Eq. cerchio / retta (risoluzione di eq. e diseq.)

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