Dimostrazione regola di Ruffini

Obiettivo (corso Analisi Matematica 1)

• Dimostrazione della regola di Ruffini
• La dimostrazione segue l'equivalenza con la divisione "lunga" dei polinomi

Regola di Ruffini

La regola di Ruffini stabilisce un metodo per dividere un polinomio

$$P(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_{0}$$

per il binomio

$$D(x)=x-r$$

ottenendo un polinomio quoziente $Q(x)$ ed un polinomio resto $R$ (costante) con la proprietà

$$\begin{aligned} P(x) &= Q(x)\cdot D(x) + R\\ &=Q(x)\cdot (x-r) + R \end{aligned}$$

Se il resto è zero, si dice che $D(x)=x-r$ divide $P(x)$ e che $r$ è una radice del polinomio e la fattorizzazione diventa $P(x) = Q(x)\cdot D(x)$

Esempio: regola di Ruffini

Dividiamo il polinomio

$$P(x)=5x^3-3x^2-16x+3$$

per

$$D(x)=x-2$$

dove

• $r=2$
• i coefficienti sono: $5,\ -3,\ -16,\ +3$

Procedimento

1. Scrivere coefficienti del polinomio $P(x)$ e la radice da testare $r=2$

$${\begin{array}{c|c c c|c}&5&-3&-16&3\\2&&&&\\\hline &&&&\\\end{array}}$$

2. Copiamo il primo coefficiente sotto

$${\begin{array}{c|c c c|c}&5&-3&-16&3\\2&&&&\\\hline &5&&&\\\end{array}}$$

3. Moltiplichiamo il numero più a destra della riga sotto per il coefficiente $r$ e scriviamo il risultato nella seconda riga

$${\begin{array}{c|c c c|c}&5&-3&-16&3\\2&&10&&\\\hline &5&&&\\\end{array}}$$

4. Sommiamo i valori della colonna così trovata e li scriviamo nella riga sotto

$${\begin{array}{c|c c c|c}&5&-3&-16&3\\2&&10&&\\\hline &5&7&&\\\end{array}}$$

5. Ripetiamo i passi 3 e 4 fino alla fine

$${\begin{array}{c|c c c|c}&5&-3&-16&3\\2&&10&14&\\\hline &5&7&&\\\end{array}}$$

6. Ripetiamo i passi 3 e 4 fino alla fine

$${\begin{array}{c|c c c|c}&5&-3&-16&3\\2&&10&14&\\\hline &5&7&-2&\\\end{array}}$$

7. Ripetiamo i passi 3 e 4 fino alla fine

$${\begin{array}{c|c c c|c}&5&-3&-16&3\\2&&10&14&-4\\\hline &5&7&-2&\\\end{array}}$$

8. Ripetiamo i passi 3 e 4 fino alla fine

$${\begin{array}{c|c c c|c}&5&-3&-16&3\\2&&10&14&-4\\\hline &5&7&-2&-1\\\end{array}}$$

Quindi si ha la fattorizzazione

$$ 5x^3-3x^2-16x+3 \;=\;(5x^2+7x-2)\cdot (x-2) + (-1) $$

Regola di Ruffini: Elementi essenziali

1. Scrittura dei coefficienti del polinomio senza la $x$
2. Scrittura della radice $r$
3. Ricopio il primo coeffciente
4. Ripeto il passo generale (colonna generica)

$$ {\begin{array}{c|c c c c|c}&\ldots&\ldots&\square&\ldots&\ldots\\r&\ldots&\ldots&r\cdot\Delta&&\\\hline &\ldots&\Delta&\circ&&\\\end{array}} \quad\quad \text{ con } \quad\quad \circ = \square + r\cdot\Delta $$

dove

• $\square$ è il coefficiente di $P$ alla colonna corrente
• $r$ è la radice del binomio $x-r$
• $\Delta$ è il calcolo della tabella di Ruffini nella colonna precedente

Dimostrazione (non troppo formale)

La regola di Ruffini è equivalente alla divisioni tra polinomi tra $P(x)$ e $D(x)$ se $D(x)$ è della forma $x-r$

Elementi essenziali della dimostrazione:

• il coeff. della $x$ in $D(x)=x-r$ è 1
• il grado di $D(x)$ è 1

Esempio divisione tra polinomi

La dimostrazione la vediamo applicata ad un esempio e la confrontiamo con la regola di Ruffini

Procediamo con lo stesso esempio i.e.

$$ P(x) = 5x^3-3x^2-16x+3 $$

e

$$ D(x) = x-2 $$

Prima colonna

$$\begin{array}{c c c c|c c c} \color{limegreen}{5}x^3 & -3x^2 & -16x & +3 & x & -2\\ \hline & & & & \color{orange}{5}x^2 & \\ \end{array}$$

Il primo passo della divisione corrisponde alla ricopiatura del coefficiente della regola di Ruffini

Ricopio il coefficiente perché il coefficiente di $x$ in $x-2$ è $1$

Seconda colonna

$$\begin{array}{c c c c|c c c} 5x^3 & -3x^2 & -16x & +3 & x & -\color{gold}{2}\\ \hline -5x^3 & \color{limegreen}{+10}x^2 & & & \color{orange}{5}x^2 & \\ \hline \end{array}$$

Ora

• $r=\color{gold}{2}$, $\Delta=\color{orange}{5}$, $r\cdot\Delta= 2\cdot 5=\color{limegreen}{10}$

Qui è importante notare che essendo il grado di $r$ pari a $0$ questo si ripercuote solo sulla colonna successiva a quella corrente

Seconda colonna

$$\begin{array}{c c c c|c c c} 5x^3 & \color{cyan}{-3}x^2 & -16x & +3 & x & -2\\ \hline -5x^3 & \color{limegreen}{+10}x^2 & & & 5x^2 & \\ \hline & \color{orange}{+7}x^2 & & & & \end{array}$$

Ora

• $\square = \color{cyan}{-3}$
• $r\cdot\Delta = \color{limegreen}{10}$
• $\circ = \square + r\cdot\Delta = \color{orange}{7}$

Terza colonna

$$\begin{array}{c c c c|c c c} 5x^3 & -3x^2 & -16x & +3 & x & -2\\ \hline -5x^3 & +10x^2 & & & 5x^2 & +\color{orange}{7}x\\ \hline & \color{orange}{+7}x^2 & & & & \end{array}$$

Ora

• $\Delta=7$

Questo è possibile perché il coefficiente di $x$ in $x-2$ è $1$

E così via!

e adesso si ripete la procedura nuovamente individuando e calcolando

• $r=2$
• $\Delta$
• $r\cdot\Delta$
• $\square$
• $\circ = \square + r\cdot \Delta$

Quindi abbiamo dimostrato con un esempio l'equivalmenza di Ruffini con la divisione tra polinomi.

La dimostrazione si formalizzerebbe andando a specificare i coefficienti $a_n$ del polinomio e così via (diventerebbe per ora solo complicata)!

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