I sistemi lineari degeneri
Obiettivo (corso Analisi Matematica 1)
- Ripasso sui sistemi lineari degeneri dove il numero di equazioni è maggiore del numero delle incognite
- Sistemi lineari con infinite soluzioni
- Sistemi lineari impossibili
- Caso di 2 o 3 equazioni al massimo
- Esempi
Sistema lineare degenere
Sistema lineare degenere:
- Nessuna soluzione
- Infinite soluzioni
Sistema lineare degenere con nessuna soluzione
Quando succede che un sistema lineare non ha nessuna soluzione
- Quando scrivo un'equazione in contraddizione con un'altra
Ad esempio
$$\begin{cases} x+y = 1\\ x+y = 0\\ \end{cases}$$
Sistema lineare degenere con infinite soluzioni
Quando succede che un sistema lineare ha infinite soluzioni?
- Una equazione è combinazione delle altre eventualmente moltiplicata per qualche costante
Ad esempio (la seconda è due volte la prima):
$$\begin{cases} x+y = 1\\ 2x+2y = 2\\ \end{cases}$$
Ad esempio (la terza è la seconda meno la prima):
$$\begin{cases} x+y+z = 1\\ x+2y+z = 1\\ y = 0 \end{cases}$$
Sistema lineare degenere con infinite soluzioni
Cosa significa risolverlo?
- Quindi il sistema ha delle variabili che non possono essere fissate
- Si da la soluzione in termini di queste variabili
Esempio 1
Risolvere il seguente sistema lineare
$$\begin{cases} x-2y+z= 1\\ 2x-y-2z=2 \end{cases}$$
Soluzione
Si tratta di un sistema lineare di 2 equazioni in 3 incognite
Per risolvere questa tipologia di sistemi dobbiamo fissare una variabile (questo argomento si sviluppa in un corso di algebra lineare)
In questo caso scegliamo la $z$ scrivendo $$ z=z $$
A questo punto la $z$ va trattata come fosse un numero e il sistema diventa
$$\begin{cases} x-2y= (1-z)\\ 2x-y=(2+2z) \end{cases}$$
Isolando la $x$ dalla prima equazione, sostituendola nella seconda, si ha
$$\begin{cases} x= (1-z)+2y\\ 2\big((1-z)+2y\big)-y=(2+2z) \end{cases} \;\implies\; \begin{cases} x= (1-z)+2y\\ 3y=4z \end{cases}$$
La seconda equazione ha soluzione $y={4\over3}z$ che sostituita nella prima fornisce $$ x= (1-z)+2\cdot{4\over3}z \;\implies\; x= 1+{5\over3}z $$
Il sistema diventa:
$$ \begin{cases} x= 1+{5\over3}z\\ y = {4\over3}z \end{cases} $$
Il sistema ha le seguenti (infinite) soluzioni $(x,y,z)$: $\quad\left(1+{5\over3}z,\, {4\over3}z,\, z\right)$
Esempio 2
Risolvere il seguente sistema lineare
$$\begin{cases} x+y= 1\\ 2x+2y=2 \end{cases}$$
Soluzione
In questo caso si nota subito che la seconda equazione è il doppio della prima e che se sostituiamo la prima nella seconda otteniamo l'equazione $0=0$, per cui il sistema si riduce all'equazione $$ x+y=1 $$
Come il caso precedente, va fissata una variabile ad esempio la $y$ da cui $$ x = 1-y $$
Pertanto le (infinite) soluzioni del sistema sono $$\begin{cases} x= 1-y\\ y=y \end{cases}$$
Esempio 3
Risolvere il seguente sistema lineare
$$\begin{cases} 2x+y-z= 2\\ 5x+4y-2z= 1\\ x+2y=-3 \end{cases}$$
Soluzione
Isoliamo la $x$ dalla terza equazione e la sostituiamo nelle prime due, ottenendo
$$\begin{cases} x=-3 -2y\\ 2(-3 -2y)+y-z= 2\\ 5(-3 -2y)+4y-2z= 1 \end{cases} \;\implies\; \begin{cases} x=-3 -2y\\ -3y-z= 8\\ -6y-2z= 16 \end{cases}$$
Isolando $z$ dalla seconda equazione e sostituendola nella terza si ha
$$\begin{cases} x=-3 -2y\\ -3y-z= 8\\ -6y-2z= 16 \end{cases} \;\implies\; \begin{cases} x=-3 -2y\\ z= -8-3y\\ -6y-2(-8-3y)= 16 \end{cases} \;\implies\; \begin{cases} x=-3 -2y\\ z= -8-3y\\ 0 = 0 \end{cases}$$
Fissiamo la variabile $y$, da cui le (infinite) soluzioni
$$\begin{cases} x=-3 -2y\\ z= -8-3y\\ 0 = 0 \end{cases} \;\implies\; \begin{cases} x=-3 -2y\\ y = y\\ z= -8-3y \end{cases}$$
Esempio 4
Risolvere il seguente sistema lineare
$$\begin{cases} x-3y-2z= 0\\ 2x+y-3z=-1\\ 3x+5y-4z=1 \end{cases}$$
Soluzione
Isolando la $x$ dalla prima equazione e sostituendola nelle rimanenti altri due, si ha
$$\begin{cases} x= 3y+2z\\ 2(3y+2z)+y-3z=-1\\ 3(3y+2z)+5y-4z=1 \end{cases} \;\implies\; \begin{cases} x= 3y+2z\\ 7y+z=-1\\ 14y+2z=1 \end{cases}$$
Sostituendo la seconda equazione nella terza si ha
$$\begin{cases} x= 3y+2z\\ 7y+z=-1\\ 14y+2z=1 \end{cases} \;\implies\; \begin{cases} x= 3y+2z\\ 7y+z=-1\\ 2\cdot (-1)=1 \end{cases} \;\implies\; \begin{cases} x= 3y+2z\\ 7y+z=-1\\ -2=1 \end{cases}$$
La terza equazione è impossibile, per cui il sistema non ammette soluzione
Il teorema di Rouché–Capelli
Caratterizzazione delle soluzioni di un sistema lineare
Prende il nome di due matematici, perché la prima versione del teorema è stata formulata da Eugène Rouché mentre fu Alfredo Capelli a semplificarla
Ricorda di sostenere questo progetto con una donazione (PayPal.Me/ManoloVenturin).