I sistemi di equazioni

Obiettivo (corso Analisi Matematica 1)

• Ripasso sui sistemi lineari e non lineari
• Caso notevole a due equazioni e due variabili
• Caso notevole a tre equazioni e tre variabili
• Esempi

Introduzione

Sistema: insieme di equazioni da risolvere contemporaneamente

Quante soluzioni ci sono per una variabile?

• una soluzione per ogni variabile come in $x=1$
• più di una soluzione per ogni variabile, come in $x^2=1$, ($x=\pm1$)
• ci siano infinite soluzione, come in $0\cdot x=0$
• non ci siano soluzione, come in $0\cdot x=1$ o $\frac{1}{x^2}=0$

Introduzione

Quante soluzioni ci sono per più variabili?

Per i sistemi con equazioni solo di primo grado (lineari):

• Una sola soluzione
• Nessuna soluzione
• Infinite soluzioni

Per i sistemi con un'equazione di grado maggiore di 1 (non-lineari):

• qualunque caso è possibile

Analizzeremo di seguito solo i casi notevoli

Lineare di due equazioni (due incognite)

Un sistema lineare di due equazioni in nelle incognite $x$ e $y$ ha la seguente forma

$$\begin{cases} a_{1,1}x+a_{1,2}y= b_1\\ a_{2,1}x+a_{2,2}y= b_2\\ \end{cases}$$

Si dimostra che se $$a_{1,1}\cdot a_{2,2} - a_{2,1}\cdot a_{1,2}\ne0$$ allora la soluzione del sistema è unica, altrimenti potrebbe essere impossibile o indeterminato

Strategia risolutiva:

• La soluzione si ottiene scegliendo un'equazione e isolando una variabile e sostituendola poi nell'altra
• Si risolve l'equazione così ottenuta e si sostituisce il risultato nella prima equazione

Ad esempio, dato il sistema lineare

$$\begin{cases} 2x+y= 1\\ x+2y= -1 \end{cases}$$

isoliamo dalla prima equazione la $y$ (più facile fare rispetto alla $x$ che dovremmo poi dividere per $2$) e la sostituiamolo nella seconda, ottenendo

$$\begin{cases} y= 1-2x\\ x+2(1-2x)= -1 \end{cases} \;\implies\; \begin{cases} y= 1-2x\\ x-4x= -1-2 \end{cases} \;\implies\; \begin{cases} y= 1-2x\\ -3x= -3 \end{cases} $$

$$\begin{cases} y= 1-2x\\ -3x= -3 \end{cases} \;\implies\; \begin{cases} y= 1-2x\\ x= 1 \end{cases}$$

L'ultima equazione ha soluzione $x=1$ che sostituita nella prima, fornisce il risultato

$$\begin{cases} y= 1-2\cdot(1)\\ x= 1 \end{cases} \;\implies\; \begin{cases} y= -1\\ x= 1 \end{cases}$$

Lineare di tre equazioni (tre incognite)

Il procedimento è simile a quello descritto nel paragrafo precedente

Ad ogni passo, si considera un'equazione e si isola da tale equazione una variabile e se la sostituisce in tutte le altre

Ad esempio, dato il sistema lineare

$$\begin{cases} 3x-2y+4z= 5\\ 7x+4y-8z=3 \\ 3x-3y-4z= -14 \end{cases}$$

isoliamo $4z$ dalla prima equazione e lo sostituiamo nelle rimanenti, ottenendo

$$\begin{cases} 4z= 5 - 3x+2y\\ 7x+4y-2\cdot (5 - 3x+2y)=3 \\ 3x-3y-(5 - 3x+2y)= -14 \end{cases} \;\implies\; \begin{cases} 4z= 5 - 3x+2y\\ 13x=13 \\ 6x-5y= -9 \end{cases} $$

• La seconda equazione ha soluzione $x=1$
• che sostituita nella terza fornisce $y={-9-6\over -5}=3$
• e quindi dalla prima equazione si ha $z={5-3\cdot1+2\cdot3\over 4}=2$

La soluzione finale è $$\begin{cases} x=1\\ y=3\\ z=2 \end{cases}$$

Verifica

Sostituisco la soluzione

$$\begin{cases} x=1\\ y=3\\ z=2 \end{cases}$$

nelle equazioni

$$\begin{aligned}\begin{cases} 3x-2y+4z= 5\\ 7x+4y-8z=3 \\ 3x-3y-4z= -14 \end{cases} &\implies\; \begin{cases} 3\cdot 1-2\cdot 3+4\cdot 2= 5\\ 7\cdot 1+4\cdot 3-8\cdot 2=3 \\ 3\cdot 1-3\cdot 3-4\cdot 2= -14 \end{cases} \;\implies\; \begin{cases} 3-6+8= 5\\ 7+12-16=3 \\ 3-9-8= -14 \end{cases}\\ &\implies\; \begin{cases} 5 = 5\\ 3 =3 \\ -14 = -14 \end{cases} \end{aligned} $$

Non-lineare di due equazioni

Caso: Un'equazione quadratica assieme ad un'equazione lineare

Ad esempio, dato il seguente sistema di equazioni

$$\begin{cases} x^2-2y^2=14\\ x+y=3 \end{cases}$$

isoliamo una variabile, ad esempio la $x$ dall'equazione lineare (la seconda equazione), e la sostituiamo nella prima, ottenendo

$$\begin{cases} (3-y)^2-2y^2=14\\ x=3-y \end{cases} \;\implies\; \begin{cases} -y^2-6y-5=0\\ x=3-y \end{cases}$$

La prima equazione $y^2+6y+5=0$ ha soluzione $$ y_{1,2}={-6\pm\sqrt{36-20}\over2}={-6\pm4\over2}=\left\{-1,\, -5\right\} $$

La $x$ si ottiene dalla seconda equazione, $x=3-y$, i.e.

• per $y=-1 \implies x=3-(-1)=4$
• per $y=-5 \implies x=3-(-5)=8$

Quindi, le soluzione del sistema sono le coppie $(x,y)$: $$ (4,-1)\quad\text{e}\quad(8,-5) $$

Esercizio

Quante soluzioni ha il seguente sistema di equazioni $$\begin{cases} x^2+y^2 = 9\\ x^2-y=9 \end{cases} $$

Soluzione

Si tratta di un sistema non lineare (sia la prima equazione che la seconda equazione hanno dei monomi di grado 2)

Isoliamo il termine $x^2$ dalla seconda equazione e lo sostituiamo nella prima

$$\begin{cases} x^2+y^2 = 9\\ x^2-y=9 \end{cases} \;\implies\; \begin{cases} (9+y) + y^2 = 9\\ x^2 = 9+y \end{cases} \;\implies\; \begin{cases} y^2 + y = 0\\ x^2 = 9+y \end{cases}$$

La prima equazione ha soluzione

$$ y^2 + y = 0 \;\implies\; y_{1,2}=\left\{0,\ -1\right\} $$

Per $y=0$, la seconda equazione diventa

$$ x^2 = 9+0 \;\implies\; x_{1,2}= \pm3 $$

Per $y=-1$, la seconda equazione diventa

$$ x^2 = 9-1 \;\implies\; x_{1,2}= \pm 2\sqrt{2} $$

Quindi ci sono $4$ soluzioni

Curiosità

Chi è stato il primo a proporre una regola per la risoluzione di un sistema lineare di $n$ equazioni in $n$ incognite?

La soluzione fu data da Gabriel Cramer nel 1750

Ricorda di sostenere questo progetto con una donazione (PayPal.Me/ManoloVenturin).