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Prodotti notevoli

Obiettivo (corso Analisi Matematica 1)

  • Ripasso sui prodotti notevoli
  • Quadrato di un binomio
  • Somma o differenza di due cubi
  • Quadrato di un trinomio
  • Il triangolo di Tartaglia
  • Esempi
  • VIDEO
  • PDF

    • Introduzione

    Le scomposizioni notevoli o prodotti notevoli sono delle formule di calcolo che permetto di semplificare o sviluppare velocemente determinati potenze o prodotti di polinomi

    Ad esempio $$ (a+b)^2 \;=\;(a+b)(a+b)\;=\;a^2+ab +ab+b^2\;=\;a^2+2ab+b^2 $$ compare talmente spesso che uno ricorda direttamente $$ (a+b)^2 \;=\;a^2+2ab+b^2 $$ senza i passaggi intermedi che non sono altro che la dimostrazione della formula


    Quadrato di un binomio(somma e differenza)

    $$ (a\pm b)^2\;=\;a^2\pm 2ab+b^2 $$

    Dimostrazione:

    $$\begin{aligned} (a\pm b)^2 &=\; (a\pm b)(a\pm b)\\ &=\; a^2 \pm ab \pm ab + b^2\\ &=\;a^2\pm 2ab+b^2 \end{aligned} $$

    Nota: Se c'è un segno meno si può raccogliere e portare fuori che il risultato dello sviluppo non cambia.

    Quindi sono uguali:

    $$(-a-b)^2 \;=\; \big(-(a+b)\big)^2 \;=\; (-1)^2(a+b)^2 \;=\; (a+b)^2$$ $$-a+b)^2 \;=\; \big(-(a-b)\big)^2 \;=\; (-1)^2(a-b)^2 \;=\; (a-b)^2$$


    Differenza di due quadrati

    $$ a^2-b^2\;=\;(a-b)(a+b) $$

    Dimostrazione:

    $$\begin{aligned} (a-b)(a+b) &=\; a^2 +\cancel{ab} -\cancel{ab} + b^2\\ &=\; a^2-b^2 \end{aligned} $$


    Cubo di un binomio (somma e differenza)

    Somma:

    $$ (a + b)^3\;=\;a^3+3a^2b+3ab^2+b^3 $$

    Dimostrazione:

    $$\begin{aligned} (a+b)^3 &=\; (a+ b)(a+ b) (a+ b)\\ &=\; (a+ b)^2 (a+ b)\\ &=\; (a^2 +2ab +b^2)(a+b)\\ &=\; (a^3 +2a^2b + ab^2) + (a^2b +2ab^b +b^3)\\ &=\; (a^3 +3a^2b +3ab^2 +b^3) \end{aligned} $$

    Somma:

    $$ (a + b)^3\;=\;a^3+3a^2b+3ab^2+b^3 $$

    Differenza (notate i segni alterni):

    $$ (a-b)^3\;=\;a^3-3a^2b+3ab^2-b^3 $$

    • $(a-b)^3\;=\;\big(a+(-b)\big)^3$
    • Per i più esperti i coefficienti sono legati al triangolo di Tartaglia

    Somma o differenza di due cubi

    $$ a^3\pm b^3\;=\;(a\pm b)(a^2\mp ab+b^2) $$

    Dimostrazione:

    $$\begin{aligned} (a\pm b)(a^2\mp ab+b^2) &=\; (a^3 \mp \cancel{a^2b} + \bcancel{ab^2}) + (\pm \cancel{a^2b} - \bcancel{ab^2} \pm b^3) \\ &=\; a^3 \pm b^3 \end{aligned} $$


    Quadrato di un trinomio

    $$ (a+b+c)^2\;=\;a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc $$

    Dimostrazione:

    $$\begin{aligned} (a+b+c)^2 &=\; (a+b+c) (a+b+c)\\ &=\; (a^2 +ab +ac) + (ab+b^2+bc) + (ac+bc+c^2)\\ &=\; a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc \end{aligned} $$

    Ad esempio

    $$\begin{aligned} (1+x+x^2)^2 &=\; 1 + x^2 + x^4 + 2x + 2x^2 + 2x^3 \\ &=\; x^4 + 2x^3 + 3x^2 + 2x + 1 \end{aligned}$$

    mentre

    $$\begin{aligned} (1-x+x^2)^2 &=\; \big(1+(-x)+x^2\big)^2\\ &=\; 1 + x^2 + x^4 - 2x + 2x^2 - 2x^3 \\ &=\; x^4 - 2x^3 + 3x^2 - 2x + 1 \end{aligned}$$



    Esempi



    Esempio 1

    Fattorizzare il seguente polinomio $$1-x^4$$

    Soluzione

    Da $1-x^4 = (1)^2-(x^2)^2$ e applicando la differenza tra due quadrati si ha $$\begin{aligned} 1- x^4 &=\;(1)^2-(x^2)^2\\ &=\;(1-x^2)(1+x^2) \end{aligned}$$

    Anche $1-x^2$ è la differenza di due quadrati, quindi si ha $$\begin{aligned} 1- x^4 &=\;(1-x^2)(1+x^2)\\ &=\;(1-x)(1+x)(1+x^2) \end{aligned}$$

    Soluzione:

    $$ 1- x^4 \;=\; (1-x)(1+x)(1+x^2) $$

    Il fattore $x^2+1$ è irriducibile e quindi non ammette fattorizzazione in quanto l'equazione di secondo grado ha $\Delta=0^2-4\cdot1\cdot1=-4<0$


    Esempio 2

    Fattorizzare il seguente polinomio $$x^3-8$$

    Soluzione

    Da $x^3-8 = x^3-2^3$ e applicando la differenza tra due cubi si ha $$\begin{aligned} x^3-8 &=\; x^3-2^3\\ &=\; (x-2)(x^2+2x+2^2)\\ &=\;(x-2)(x^2+2x+4) \end{aligned}$$

    Il fattore $x^2+2x+4$ è irriducibile e quindi non ammette fattorizzazione in quanto l'equazione di secondo grado ha $\Delta=2^2-4\cdot1\cdot4=-12<0$


    Esempio 3

    Fattorizzare $$(a+1)^3+(a-1)^3$$

    Soluzione

    Usando la formula della somma di due cubi si ha $$\begin{aligned} (a+1)^3+(a-1)^3 &=\;\big((a+1)+(a-1)\big)\big((a+1)^2-(a+1)(a-1)+(a-1)^2\big)\\ &=\;2a\big((a+1)^2-(a^2-1)+(a-1)^2\big)\\ &=\;2a\big(\bcancel{a^2}+\cancel{2a}+1-\bcancel{a^2}+1+a^2-\cancel{2a}+1\big)\\ &=\;2a\cdot (a^2+3) \end{aligned}$$

    Il calcolo diretto fornirebbe

    • $(a+1)^3 = a^3 + 3a^2+3a+1$
    • $(a-1)^3 = a^3 - 3a^2+3a-1$

    da cui $$ (a+1)^3+(a-1)^3 \;=\;2a^3+6a \;=\;2a\cdot (a^2+3) $$

    Il fattore $a^2+3$ è irriducibile e quindi non ammette fattorizzazione in quanto l'equazione di secondo grado ha $\Delta=0^2-4\cdot1\cdot3<0$


    $(a+b)^n$: Il triangolo di Tartaglia

    $$\begin{aligned} (a+b)^{0} &= 1\\ (a+b)^{1} &= 1 a + 1 b\\ (a+b)^{2} &= 1a^2 + 2ab + 1b^2\\ (a+b)^{3} &= 1a^3 + 3a^2 b + 3ab^2 + 1b^3\\ &\vdots \end{aligned}$$


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