I polinomi: fattorizzazione

Obiettivo (corso Analisi Matematica 1)

Ripasso sulla fattorizzazione dei polinomi
Radici di un polinomio
Polinomio di grado 1
Polinomio di grado 2
Polinomio di grado superiore al secondo
Regola di Ruffini
Equazioni riconducibili a quadratiche
Esempi

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Radici di un polinomio e fattorizzazione

$$ P(x_0)=0 \quad\quad\iff\quad\quad x=x_0 \color{white}{\text{ è detta radice}} $$

e fattorizza $P(x)$ nella forma

$$P(x)=Q(x)\cdot(x-x_0)$$

con resto $0$

Analizziamo i diversi casi

Polinomio di grado 1 e sua fattorizzazione

La radice di $$P(x)=ax+b$$ è $$ax+b=0\;\implies\;\bar{x}=-{b\over a}$$ e la sua fattorizzazione è $$a\cdot\left(x-\bar{x}\right)$$

Ad esempio, $P(x)=3x+2$ ha la radice $\bar{x}=-{2\over 3}$ e si fattorizza nella forma $P(x)=3x+2=3\left(x+{2\over 3}\right)$

Polinomio di grado 2 e sua fattorizzazione

Un polinomio di secondo grado $ax^2+bx+c$ con $\Delta=b^2-4ac > 0$ può essere fattorizzato nella forma $$a\cdot(x-x_1)\cdot(x-x_2)$$ dove $$x_{1,2}={-b\pm\sqrt{\Delta}\over 2a}$$

Se $\Delta = 0$ allora $x_1=x_2$ e la fattorizzazione diventa

$$ a\cdot(x-x_1)^2 $$

Polinomio di grado 2 e sua fattorizzazione

Se $\Delta<0$ il polinomio è irriducibile e lo si può scrivere come somma di due quadrati

$$\begin{aligned} ax^2+bx+c &=a\left(x^2+{b\over a}x+{c\over a}\right)\\ &=a\left(\left(x+{b\over 2a}\right)^2+{c\over a}-{b^2\over 4a^2}\right)\\ &=a\left(\left(x+{b\over 2a}\right)^2+{4ac-b^2\over 4a^2}\right)\\ &=a\left(\left(x+{b\over 2a}\right)^2+{-\Delta\over 4a^2}\right)\\ \end{aligned}$$

Esempio 1

Fattorizzare

$$-2x^2-x+1$$

Soluzione

Si ha $\Delta=(-1)^2-4\cdot(-2)\cdot 1=1+8=9$ da cui $$x_{1,2}={1\pm\sqrt{9}\over -2\cdot2}={1\pm3\over -4}=\left\{-1,\ {1\over2}\right\}$$

Quindi, la fattorizzazione di $-2x^2-x+1$ è $$-2(x-x_1)(x-x_2)\;=\;-2\left(x-{1\over2}\right)(x+1)\;=\;(1-2x)(x+1)$$

Esempio 2

Fattorizzare

$$-x^2-2x-3$$

Soluzione

Essendo $\Delta=(-2)^2-4\cdot(-1)\cdot(-3)=4-12<0$ l'equazione di secondo grado è irriducibile

E' possibile scrivere come somma di due quadrati (negativi), i.e. $$\begin{aligned} -x^2-2x-3 &=-\left(x^2+2x+3\right)\\ &=-\left(\left(x+1\right)^2+3+1\right)\\ &=-\left(\left(x+1\right)^2+4\right)\\ \end{aligned}$$

Esempio 3

Trovare per quali valori di $k$ la somma delle due radici dell'equazione di secondo grado

$$x^2+2kx+k$$

è maggiore o uguale a 4

Soluzione

La somma delle due radici $x_{1,2}={-b\pm\sqrt{\Delta}\over 2a}$ di un'equazione di secondo grado è $$ x_1+x_2={-b+\cancel{\sqrt{\Delta}}\over 2a}+{-b-\cancel{\sqrt{\Delta}}\over 2a} =-{b \over a} $$ con la condizione di esistenza $\Delta\geqslant0$

Perciò si ha $$x_1+x_2=-{b \over a}=4\;\implies\;-{2k\over1}=4\;\implies\;k=-2$$

Per $k=-2$, si ha $\Delta=(-4)^2-4\cdot1\cdot(-2)>0$ e quindi le radici (reali) esistono

Polinomio di grado maggiore al 2 e sua fattorizzazione

Una conseguenza del teorema fondamentale dell'algebra asserisce che un polinomio di grado $n$ si fattorizza come prodotti di polinomi di grado 1 o di grado 2 irriducibili

Tipicamente, per calcolare la fattorizzazione di un polinomio si utilizza la regola di Ruffini con diversi tentativi iniziali

Regola di Ruffini

La regola di Ruffini stabilisce un metodo per dividere un polinomio

$$P(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_{0}$$

per il binomio

$$D(x)=x-r$$

ottenendo un polinomio quoziente $Q(x)$ ed un polinomio resto $R(x)$ (costante) con la proprietà

$$ P(x) = Q(x)\cdot D(x)+R(x) $$

Se il resto è zero, si dice che $D(x)$ divide $P(x)$ e che $r$ è una radice del polinomio e la fattorizzazione diventa $P(x) = Q(x)\cdot D(x)$

Esempio: regola di Ruffini

Il polinomio

$$P(x)=2x^3+x+3$$

ha una radice per $r=-1$, infatti

$$P(r=-1)=2\cdot (-1)^3-1+3=0$$

quindi possiamo dividere $P(x)$ per

$$x-r=x-(-1)=x+1$$

Procedimento

Scrivere coefficienti del polinomio $P(x)$ e la radice da testare $r=-1$

$$ {\begin{array}{c|c c c|c}&2&0&1&3\\-1&&&&\\\hline &&&&\\\end{array}} $$

Copiamo il primo coefficiente sotto

$$ {\begin{array}{c|c c c|c}&2&0&1&3\\-1&&&&\\\hline &2&&&\\\end{array}} $$

Moltiplichiamo il numero più a destra della riga sotto per il coefficiente $r$ e scriviamo il risultato nella seconda riga

$$ {\begin{array}{c|c c c|c}&2&0&1&3\\-1&&-2&&\\\hline &2&&&\\\end{array}} $$

Sommiamo i valori della colonna così trovata e li scriviamo nella riga sotto

$$ {\begin{array}{c|c c c|c}&2&0&1&3\\-1&&-2&&\\\hline &2&-2&&\\\end{array}} $$

Ripetiamo i passi 3 e 4 fino alla fine

$$ {\begin{array}{c|c c c|c}&2&0&1&3\\-1&&-2&2&-3\\\hline &2&-2&3&0\\\end{array}} $$

Quindi si ha la fattorizzazione

$$ 2x^3+x+3 \;=\;(2x^2-2x+3)\cdot (x+1) $$

Ricerca degli zeri di polinomi (maggiore del secondo grado)

Il teorema delle radici razionali, afferma che gli zeri razionali di un polinomio della forma $$P(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_{0}$$ a coefficienti interi sono della forma $p/q$ dove

$p$ è un divisore del termine noto $a_0$, e
$q$ è un divisore del coefficiente direttore $a_n$

Esempio (t. radici razionali)

Le radice razionali di $P(x)=2x^4-x^3+4x^2+4x-3$ ha i seguenti divisori

i divisori di $a_0=-3$ sono: $\pm1,\ \pm3$
i divisori di $a_n=2$ sono: $\pm1,\ \pm2$

per cui le radici razionali sono da ricercare nell'insieme $$ \left\{\pm1,\ \pm3,\ \pm{1\over2},\ \pm{3\over 2}\right\} $$

Infatti, $x=-1$ e $x={1\over 2}$ sono zeri razionali del polinomio $P(x)$

Fattorizzazione:

$$ 2x^4-x^3+4x^2+4x-3 \;=\; (x+1)\left(x-{1\over 2}\right)(2x^2-2x+6) $$

Equazioni riconducibili a quadratiche

Le equazioni della forma

$$ a x^{2n} + bx^{n} + c = 0 $$

con la sostituzione

$$ t = x^{n} $$

diventa un'equazione quadratica

$$ a t^2 + bt +c =0 $$

La soluzione si ottiene

risolvendo l'equazione $a t^2 + bt +c =0$ trovando le radici $\bar{t}$
si risolve la sostituzione $x^{n}=\bar{t}$

Esempio

Fattorizzare

$$x^4+2x^2-24$$

Soluzione

Poniamo $t=x^2$ allora l'equazione diventa

$$ t^2+2t-24 = 0 $$

che ha soluzione $$ t_{1,2} \;=\; {-2 \pm \sqrt{4+4\cdot 24} \over 2} \;=\; {-2 \pm \sqrt{100} \over 2} \;=\; {-2 \pm 10 \over 2} \;=\; \left\{4,\ -6\right\} $$

Abbiamo la fattorizzazione

$$ (t-4)(t+6) \;\implies\; (x^2-4)(x^2+6) $$

Ora

$(x^2-4) = (x-2)(x+2)$
$(x^2+6)$ è irriducibile

Quindi si ha

$$ x^4+2x^2-24 \;=\; (x-2)(x+2)(x^2+6) $$

Chi è stato Paolo Ruffini

Paolo Ruffini (Valentano, 22 settembre 1765 – Modena, 10 maggio 1822)
Il 9 giugno 1788 si laureò in filosofia, medicina e chirurgia e matematica
Dal 1797 fu professore di matematica presso l'Università di Modena
Dal 1814 al 1822 fu Rettore dell'Università di Modena
Oltre per la regola di Ruffini è famoso per il Teorema di Abel-Ruffini

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