I polinomi (definizione e operazioni)

Obiettivo (corso Analisi Matematica 1)

Ripasso sui polinomi
Somma e differenza
Prodotto e quoziente / divisione
Esempi

Definizione di polinomio

Un polinomio è una scrittura del tipo $$P(x)=a_{n}x^{n}\;+\;a_{n-1}x^{n-1}\;+\;\cdots \;+\;a_{1}x\;+\;a_{0}$$ dove $a_j$ con $j=0,\ \ldots\ n$, sono detti coefficienti e $n$ è detto grado

In particolare,

$a_0$ è detto termine noto
$a_n$ è detto coefficiente direttore e se $a_n=1$ il polinomio viene detto monico
$a_j x^j$ è detto monomio o termine del polinomio

Somma e differenza

Regola: somma algebrica dei singoli monomi

Ad esempio, da

$P_1(x)=x^2+x+1$
$P_2(x)=x^3-x^2+x-1$

si ha che

$$\begin{aligned} P_1(x)+P_2(x)&\;=\;\left(\cancel{x^2}+x+1\right)+\left(x^3-\cancel{x^2}+x-1\right)\;=\;x^3+2x\\ P_1(x)-P_2(x)&\;=\;\left(x^2+\cancel{x}+1\right)-\left(x^3-x^2+\cancel{x}-1\right)\;=\;-x^3+2x^2+2\\ \end{aligned}$$

Prodotto

Regola: legge distributiva del prodotto con la somma

Ad esempio, da

$P_1(x)=x-1$
$P_2(x)=x^2+x+1$

si ha che

$$\begin{aligned} P_1(x)\cdot P_2(x)&\;=\;\left(x-1\right)\cdot\left(x^2+x+1\right)\\ &\;=\; x\cdot x^2+x\cdot x + x\cdot 1 \quad-1\cdot x^2-1\cdot x -1\cdot 1\\ &\;=\;x^3+\cancel{x^2}+\bcancel{x}-\cancel{x^2}-\bcancel{x}-1\\ &\;=\;x^3-1 \end{aligned}$$

Divisione

La divisione di due polinomi non è in generale un polinomio
Ad esempio: ${1\over x+1}$ non è un polinomio

Divisione

La divisione tra due polinomi $N(x)$ e $D(x)$ produce un polinomio quoziente $Q(x)$ e un polinomio resto $R(x)$, tali che $$N(x)= Q(x)\cdot D(x)+R(x)$$ con grado di $R(x)$ minore del grado di $D(x)$

Se $R(x)=0$ allora si dice che $D(x)$ divide esattamente $N(x)$ o che $N(x)$ è divisibile per $D(x)$ e si ha la fattorizzazione $$N(x)= Q(x)\cdot D(x)$$

Divisione (esempio)

Ad esempio, la divisione tra

$$N(x)=x^3+x^2+x+2\quad\color{white}{\text{ e }}\quad D(x)=x+1$$

è data da

$$\begin{array}{c c c c|c c c} x^3 & + x^2 & +x & +2 & x & +1\\ \hline -x^3 & -x^2 & & & x^2 & +1\\ \hline 0 & 0 & +x & +2 & & \\ & & -x & -1 & & \\ \hline & & 0 & +1 & & \end{array}$$

da cui la fattorizzazione $$x^3+x^2+x+2\;=\;(x^2+1)\cdot(x+1)+1$$

Esempio

Trovare il polinomio che abbia gli zeri in $-1$, $0$ e in $2$ assuma il valore $6$

Soluzione

Si tratta di costruire un polinomio che passi per i punti

$(-1,0)$
$(0,0)$
$(2,6)$

Dal momento che abbiamo $3$ valori dovranno esserci $3$ coefficienti
e quindi il polinomio sarà di grado 2, della forma

$$ P(x) = a x^2 + b x + c $$

Scriviamo le equazioni del polinomio nei 3 punti (valutazione) $$\left\{\begin{aligned} a (-1)^2 + b(-1) + c = 0\\ a (0)^2 + b(0) + c = 0\\ a (2)^2 + b(2) + c = 6\\ \end{aligned}\right. \;\implies\; \left\{\begin{aligned} a -b +c &=0\\ c = &0\\ 4a + 2b + c &= 6 \end{aligned}\right. $$

Il sistema ha soluzione (lo vediamo in un prossimo video come si risolvono)

$$ \left\{\begin{aligned} a -b +c &=0\\ c = &0\\ 4a + 2b + c &= 6 \end{aligned}\right. \;\implies\; \left\{\begin{aligned} a &= 1\\ b &= 1\\ c &= 0 \end{aligned}\right. $$

da cui il polinomio $$P(x) = x^2 + x$$

Come calcolano il prodotto di due polinomi i computer?

Dati due polinomi

$$P_1(x) = \sum_{i=0}^{r}a_i x^i \quad\color{white}{\text{ e }}\quad P_2(x) = \sum_{j=0}^{2}a_j x^j$$

il prodotto è dato dalla formula

$$P(x) = P_1(x)\cdot P_2(x) = \sum\limits_{k=0}^{r+s}c_k x^k$$

$\sum$ è il simbolo di sommatoria: avremo tempo di verderlo bene nel corso!

I coefficienti dell prodotto di $P(x)$ sono dati dalle formule

$$\left\{\begin{aligned} c_0 &= a_0\cdot b_0\\ c_1 &= a_0\cdot b_1 + a_1\cdot b_0\\ &\vdots\\ c_k &= \sum_{h=0}^{k}a_h b_{k-h}\\ &\vdots\\ \end{aligned}\right.$$

dove la formula si può riassumere introducendo un operatore chiamato convoluzione

$$ C = A\ast B $$

I computer calcolano la cosa attraverso la trasforma di Fourier discreta e la sua inversa

Perché tutto questo casino?

La convoluzione è lenta da calcolare così da definizione
Non è stabile numericamente, i.e. basta un piccolo errore che la cosa si propaga in modo significativo a tutti i coefficienti

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