I numeri reali

Obiettivo (corso Analisi Matematica 1)

Ripasso sui numeri reali
Definizione
Valore assoluto
Conversione di un numero decimale non periodico in frazione
Conversione di un numero decimale periodico in frazione
Divisione per zero
Esempi

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Definizione dei numeri reali

$$\mathbb{R} \;=\; \left\{\text{razionali e irrazionali}\right\}$$

Esempio di numero irrazionale (senza periodicità): $$ 0.10\,100\,1000\,10000 $$

Definizione dei numeri reali

$$\mathbb{R} \;=\; \left\{\text{razionali e irrazionali}\right\}$$

Operazioni ben definite: somma, prodotto, sottrazione e divisione (diverso da 0), radice quadrata, …

L'insieme dei numeri reali si può identificare come i punti di una retta:

Valore assoluto

Il valore assoluto di un numero reale $x$ è definito come $$ |x| = \begin{cases} x & \text{se } x\geqslant0\\ -x & \text{se } x<0 \end{cases} $$

Ad esempio $|-3|=|3|=3$

Conversione di un numero decimale non periodico in frazione

$$ abc.de \;=\; {abcde \over 100} $$

Ricetta: tutto il numero senza decimali diviso per
- tanti 10 quanti sono le cifre dopo la virgola
Successivamente va semplificato numeratore con denominatore (potrebbe richiedere la scomposizione in fattori primi)

Ad esempio, $$ 2.04 \;=\; {204\over 100}\;=\; {51\over 25} $$

Conversione di un numero decimale periodico in frazione

$$ a.bc\overline{def} \;=\; {abcdef - abc\over 99900} $$

Ricetta: tutto il numero meno tutto quello che non è periodico diviso
- tanti 9 quante sono le cifre periodiche
- tanti 0 (o 10) quante sono le cifre dopo la virgola non periodiche
Successivamente va semplificato numeratore con denominatore (potrebbe richiedere la scomposizione in fattori primi)

Ad esempio, $$ 2.0\overline{4} \;=\; {204-20\over 90}\;=\; {184\over 90}\;=\;{92\over 45} $$

Esempio 1

Convertire in frazione i seguenti numeri:

(1) $2.4$

(2) $2.40$

Soluzione

$2.4 \;=\; {24 \over 10} \;=\; {12 \over 5}$

$2.40 \;=\; {240 \over 100} \;=\; {24 \over 10} \;=\; {12 \over 5}$
- è uguale a $2.4$

Esempio 2

Convertire in frazione i seguenti numeri:

(1) $1.\overline{3}$, (2) $1.0\overline{3}$, (3) $1.\overline{428571}$

Soluzione

$1.\overline{3} \;=\; {13 - 1 \over 9} \;=\; {12 \over 9} \;=\; {4\over 3}$

$1.0\overline{3} \;=\; {103 - 10 \over 90} \;=\; {93 \over 90} \;=\; {31\over 30}$

$1.\overline{428571} \;=\; {1428571 - 1 \over 999999} \;=\; {1428570 \over 999999} \;=\; {10 \over 7}$

Verifica che ${10 \over 7} = 1.\overline{428571}$

Confronto tra numeri

Confrontare due numeri $a$ e $b$ significa dire se $a > b$, $a=b$ o $a < b$

Se i numeri da confrontare sono naturali/interi: il confronto è facile
- ad esempio: $1 < 2$ e $1 > -1$
Per i numeri espressi in forma di frazione bisogna ricondurre le frazioni allo stesso denominatore e poi eseguire il confronto dei numeratori
- ad esempio ${3\over 2} > {1 \over 4}$ perché ${6\over 4} > {1 \over 4}$ e $6>1$ (si poteva risolvere immediatamente osservando che il primo numero è maggiore di 1 e il secondo è minore di 1
Se sono presenti radici quadrate: i numeri vanno elevati al quadrato prima del confronto
- ad esempio $\sqrt{2} < 3$ perché $2 < 9$

Confronto tra numeri

Il reciproco di un numero positivo più grande di 1 è minore di 1, i.e.
- se $x>1$ allora $0<{1\over x}<1$
Il reciproco di un numero positivo compreso tra 0 e 1 è maggiore di 1, i.e.
- se $01$
Se $x>y>1$ allora ${1\over x} < {1\over y}$
- Da $3 > 2$ segue che ${1\over 3} < {1\over 2}$
Per i numeri irrazionali bisogna utilizzare delle stime
- ad esempio $\pi>3$ da cui ${1\over \pi} < {1\over 3}$

Esempio 3

Ordinare (e disporli lungo la retta orientata) i seguenti numeri: $$0,\ \pm1,\ \pm 2,\ \pm{1\over 2},\ {1\over \pi},\ {1\over\sqrt{2}}$$

Soluzione

Risulta immediato che

$-2 < -1 < 0 < 1 < 2$
$-2 < -1 < -{1\over2} < 0 < {1\over2} < 1 < 2$

${1\over \pi} > 0$, e
${1\over \pi} < {1\over 2}$ perché $\pi>2$

possiamo scrivere $$ 0 < {1\over \pi} < {1\over2} $$

Quindi

$$-2 < -1 < -{1\over2} < 0 < {1\over \pi} < {1\over2} < 1 < 2$$

${1\over\sqrt{2}} < 1$, e razionalizzando
${1\over 2} < {1\over\sqrt{2}}$ perché $2 > \sqrt{2} > 1$

si ha $$ {1\over2} < {1\over\sqrt{2}} < 1 $$

$$-2 < -1 < -{1\over2} < 0 < {1\over \pi} < {1\over2} < {1\over\sqrt{2}} < 1 < 2$$

Esempio 4

Ordinare i seguenti numeri:

$$0,\ \pm1,\ \ \pm{1\over \pi},\ \pm{1\over e},\ \pm{1\over \sqrt{2}}$$

e disporli lungo la retta orientata, dove $e\approx2.7182\ldots$ è il numero di Nepero

Soluzione

Da $\pi\approx 3.14>3$, $e\approx2.7<3$ e $\sqrt{2}\approx1.4<2$ si ha $$ \sqrt{2} < e < \pi \quad\implies 1 > {1\over \sqrt{2}} > {1\over e} > {1\over\pi} > 0 $$

Per simmetria (ribaltamento rispetto all'origine) otteniamo la parte negativa $$ -1 <-{1\over \sqrt{2}} < -{1\over e} < - {1\over\pi} < 0 < {1\over\pi} < {1\over e} < {1\over \sqrt{2}} < 1 $$

Esempio 5

Ordinare i seguenti numeri:

$$0,\ \pm1,\ \ \pm2,\ 1\pm\sqrt{2},\ \sqrt{5\pm\sqrt{2}}$$

e disporli lungo la retta orientata

Soluzione

Si ha $$ -2 < -1 < 0 < 1 < 2 $$

Dal momento che $\sqrt{2}\approx 1.4$ si ha $$ 1+\sqrt{2} \approx2.4 > 2 $$ e $$ 1-\sqrt{2} \approx -0.4 \quad\implies\quad -1< 1-\sqrt{2} < 0 $$

Quindi abbiamo, $$ -2 < -1 < {1-\sqrt{2}} < 0 < 1 < 2 < {1+\sqrt{2}} $$

Si ha che $\sqrt{5+\sqrt{2}}$ è maggiore di $1+\sqrt{2}$ perché $$\begin{gathered} \sqrt{5+\sqrt{2}} > 1+\sqrt{2}\\ {\color{white}{\text{(elevando al quadrato e risolvendo)}}}\\ 5+\sqrt{2} > 1+2+2\sqrt{2}\\ 2 > \sqrt{2} \end{gathered}$$

Si ha che $\sqrt{5-\sqrt{2}} < \sqrt{4} = 2$ e $\sqrt{5-\sqrt{2}} > \sqrt{3} > 1$, e quindi $1< \sqrt{5-\sqrt{2}} < 2$

. . .

Si ha $$ -2 < -1 <1-\sqrt{2} < 0 < 1 < {\sqrt{5-\sqrt{2}}} < 2 < 1+\sqrt{2} < {\sqrt{5+\sqrt{2}}} $$

Esempio 6

Dimostrare che

$$2\left(\sqrt{5}-\sqrt{2}\right)<\sqrt{3}$$

Soluzione

$$\begin{gathered} 2\left(\sqrt{5}-\sqrt{2}\right)<\sqrt{3}\\ {\color{white}{\text{(elevando al quadrato)}}}\\ 4\left(5-\sqrt{10}+2\right)<3\\ {\color{white}{\text{(isolando la radice)}}}\\ 23 > 4\sqrt{10}\\ {\color{white}{\text{(elevando nuovamente al quadrato)}}}\\ 23^2 > 160\\ 529 > 160\\ \end{gathered}$$

Divisione per zero: no grazie!

Proviamo che $1=2$ (dimostrazione sbagliata perché divido per $0$)

Da $$ 0\times 1=0 \quad\quad\text{ e }\quad\quad0\times 2=0 $$

possiamo scrivere $$ 0\times 1=0\times 2 $$

che semplificato per $0$ si ha $$ {\frac {0}{0}}\times 1 ={\frac {0}{0}}\times 2 $$

da cui la conclusione $$ 1 \;=\; 2 $$

Divisione per zero: no grazie!

Proviamo che $1=-1$ (dimostrazione sbagliata perché divido per $0$)

Da $$ x = 1 $$

elevo al quadrato (ed è qui che introduco anche la soluzione $-1$) $$ x^2=1 $$

Fattorizzo il binomio notevole $$ (x-1)(x+1)=0 $$

e divido per $(x-1)$, in questo caso $0$, ottenendo $$ x+1=0 \implies x= -1 $$

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