Potenze e radicali

Obiettivo (corso Analisi Matematica 1)

• Ripasso sulle potenze e sui radicali
• Definizione di potenza
• Proprietà delle potenze
• Definizione di radicale ed equivalenza con le potenze
• Proprietà dei radicali
• Razionalizzazione
• Esempi

Le potenze

Definizione di potenza

La potenza di $a$ al numero naturale $n$ è il prodotto di $a$ eseguito $n$-volte $$ a^{n}=\underbrace {a\cdot a\cdot a\cdots a} _{n\ \mathrm {volte} } $$ dove $a$ viene detto base e $n$ esponente

Proprietà

1. Potenza unitaria: $$a^{1}=a$$

2. Potenza zero: $$a^{0}=1\quad\text{se}\quad a\ne0$$

3. Prodotto con la stessa base: $$a^{m}\cdot a^{n}=a^{m+n}$$
4. Prodotto con lo stesso esponente: $$a^{n}\cdot b^{n}=(a\cdot b)^{n}$$
5. Elevamento a potenza: $$(a^{m})^{n}=a^{mn}$$
6. Esponente negativo: $$a^{-n}={\frac {1}{a^{n}}}\quad\text{se}\quad a\ne0$$ $$a^{-1} = {1\over a}$$
7. Quoziente con la stessa base: $${\frac {a^{n}}{a^{m}}}=a^{n-m}$$
8. Quoziente con lo stesso esponente: $${\frac {a^{n}}{b^{n}}}=\left({a\over b}\right)^{n}$$
9. Frazione con esponente negativo: $$\left({a\over b}\right)^{-n}=\left({b\over a}\right)^{n}\quad\text{se}\quad a\ne0$$

Esempio

Semplificare la seguente espressione $$\left(125^2\div25^2+5^5\div5^3\right)\cdot\left({5\over2}\right)^{-2}$$

Soluzione

$$\begin{gathered} \left(125^2\div25^2+5^5\div5^3\right)\cdot\left({5\over2}\right)^{-2} \;=\; \left(\left({125\over 25}\right)^2+5^2\right)\cdot\left({2\over5}\right)^{2}\\ = \left(5^2+5^2\right)\cdot\left({2\over5}\right)^{2} \;=\; 2\cdot \cancel{5^2}\cdot{2^2\over\cancel{5^2}} = 2^3=8\\ \end{gathered}$$

I radicali

Definizione di radicale

Dato un numero positivo $a$ ed un indice intero $n$, si definisce radice $n$-esima di $a$ quel numero reale $b$ tale che $b^n=a$ e si indica con $$\sqrt[n]{a}$$

Quindi per definizione si ha $$ \left(\sqrt[n]{a}\right)^n = a $$ da cui si pone $$ a^{1\over n} = \sqrt[n]{a} $$

Notazione

In generale si ha $$ a^{m\over n} = \sqrt[n]{a^{m}} $$

Da questa scrittura, segue che le proprietà dei radicali sono le stesse delle proprietà delle potenze

Nota: Perché l'esponente $(\cdot)^{1\over2}$ è la radice quadrata $\sqrt{\cdot}$?

La radice quadrata $\sqrt{a}$ è tale che $\sqrt{a}\cdot\sqrt{a}=a$

Allora, dalle proprietà delle potenze ${1\over2}$ è proprio quel esponente che $a^{1\over2}\cdot a^{1\over2} = a^{{1\over2}+{1\over2}}=a^1$

Razionalizzazione

Di solito con i radicali si chiede di razionalizzare una cerca espressione, ovvero eliminare la radice che compare a denominatore di una certa espressione.

Le regole più utilizzate sono (osserviamo che moltiplichiamo e dividiamo per la stessa quantità):

Razionalizzazione

• Usando la differenza tra due quadrati $a^2-b^2=(a-b)\cdot(a+b)$ si ha: $${1\over \sqrt{x}-\sqrt{y}} \;=\; {1\over \sqrt{x}-\sqrt{y}}\cdot {{\sqrt{x}+\sqrt{y}\over \sqrt{x}+\sqrt{y}}}\;=\;{\sqrt{x}+\sqrt{y}\over x-y}$$
• (variante della precedente) Usando la differenza tra due quadrati $a^2-b^2=(a-b)\cdot(a+b)$ si ha: $${1\over \sqrt{x}+\sqrt{y}} \;=\; {1\over \sqrt{x}+\sqrt{y}}\cdot {{\sqrt{x}-\sqrt{y}\over \sqrt{x}-\sqrt{y}}}\;=\;{\sqrt{x}-\sqrt{y}\over x-y}$$
• (variante della precedente) Usando la differenza tra due quadrati $a^2-b^2=(a-b)\cdot(a+b)$ si ha: $${1\over \sqrt{x}\pm y} \;=\; {1\over \sqrt{x}\pm y}\cdot {{\sqrt{x}\mp y\over \sqrt{x}\mp-y}}\;=\;{\sqrt{x}\mp y\over x-y^2}$$

Razionalizzazione

• Usando il completamento della potenza $a=\sqrt{a}\cdot \sqrt{a}$ si ha $${1\over\sqrt{x}}\;=\;{1\over\sqrt{x}}\cdot{{\sqrt{x}\over\sqrt{x}}}\;=\;{\sqrt{x}\over x}$$
• Usando il completamento generale di una potenza $a^n=a^{n-m}\cdot a^m$ si ha $${1\over\sqrt[n]{x^m}}\;=\;{1\over\sqrt[n]{x^m}}\cdot{{\sqrt[n]{x^{(n-m)}}\over\sqrt[n]{x^{(n-m)}}}}\;=\;{\sqrt[n]{x^{(n-m)}}\over x}$$

Razionalizzazione

• Usando la somma o differenza tra due cubi $a^3\pm b^3=(a\pm b)(a^2\mp ab+b^2)$ si ha

$$\begin{aligned}{1\over\sqrt[3]{x}\pm\sqrt[3]{y}} &=\;{1\over\sqrt[3]{x}\pm\sqrt[3]{y}}\cdot {{\sqrt[3]{x^2}\mp \sqrt[3]{xy}+\sqrt[3]{y^2}\over \sqrt[3]{x^2}\mp \sqrt[3]{xy}+\sqrt[3]{y^2}}} \\[.5em] &=\;{\sqrt[3]{x^2}\mp \sqrt[3]{xy}+\sqrt[3]{y^2}\over (\sqrt[3]x)^3- (\sqrt[3]y)^3} \\[.5em] &=\;{\sqrt[3]{x^2}\mp \sqrt[3]{xy}+\sqrt[3]{y^2}\over x-y} \end{aligned}$$

Esempio 1

Razionalizzare la seguente espressione $${2\over\sqrt{3}}$$

Soluzione

$$ {2\over\sqrt{3}}\;=\;{2\over\sqrt{3}}\cdot {{\sqrt{3}\over \sqrt{3}}} \;=\;{2\sqrt{3}\over 3} $$

Esempio 2

Razionalizzare la seguente espressione $${2\over\sqrt[3]{5^2}}$$

Soluzione

$$ {2\over\sqrt[3]{5^2}} \;=\;{2\over\sqrt[3]{5^2}} \cdot {{\sqrt[3]{5}\over \sqrt[3]{5}}} \;=\; {2\sqrt[3]{5}\over \sqrt[\cancel{3}]{5^{\cancel{3}}}} \;=\;{2\sqrt[3]{5}\over 5} $$

Esempio 3

Razionalizzare la seguente espressione $${2\over\sqrt{3}-1}$$

Soluzione

$$ {2\over\sqrt{3}-1} \;=\; {2\over\sqrt{3}-1} \cdot {{\sqrt{3}+1\over\sqrt{3}+1}} \;=\;{2\left(\sqrt{3}+1\right)\over (\sqrt{3})^2-1} \;=\;{\cancel{2}\left(\sqrt{3}+1\right)\over \cancel{3-1}}\;=\;\sqrt{3}+1 $$

Esempio 4

Razionalizzare la seguente espressione $${2\over\sqrt[3]{3}-1}$$

Soluzione

$$ {2\over\sqrt[3]{3}-1} \;=\;{2\over\sqrt[3]{3}-1} \cdot {{\sqrt[3]{3^2}+\sqrt{3}+1\over \sqrt[3]{3^2}+\sqrt{3}+1}} \;=\; {\cancel{2}\left( \sqrt[3]{3^2}+\sqrt{3}+1\right)\over \cancel{3-1}}\;=\; \sqrt[3]{3^2}+\sqrt{3}+1 $$

Curiosità: la spirale di Teodoro

Permette di costruire geometricamente le radici quadrate dei numeri interi

Il processo è iterativo:

• si parte da un triangolo rettangolo isoscele di lato $1$
• un nuovo triangolo viene costruito sull'ipotenusa del precedente aggiungendo un lato di lunghezza $1$

Applicando il teorema di Pitagora partendo da un'ipotenusa di lunghezza $\sqrt{n}$ si ha che la nuova ipotenusa misura $$ \sqrt{(\sqrt{n})^2+1^2} = \sqrt{n+1} $$

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