I numeri razionali

Obiettivo (corso Analisi Matematica 1)

• Ripasso sui numeri razionali
• Definizione dei razionali e equivalenza degli interni con i razionali
• Frazione irriducibile
• Ordinamento nei razionali
• Esempio con lo scomporre
• Esempi

Definizione dei razionali

$$\mathbb{Q} \;=\; \left\{r={p\over q} \colon\ p\in\mathbb{Z},\ q\in\mathbb{Z},\ q\ne0 \right\}$$

• Numeri con rappresentazione decimale finita e numeri periodici
• Esistono numeri che non sono razionali: ad es. $\sqrt{2}$, $\pi$, $e$,
• Operazioni ben definite (il risultato sta in $\mathbb{Q}$): somma, prodotto, sottrazione e divisione (diverso da 0)

• Ordinamento sulla retta

Rappresentazione di un intero come frazione

Ogni numero intero $n$ può essere scritto come frazione, i.e. $$n \;=\; {n\over 1}$$ e viceversa

Ad esempio $$ 3 \;=\; {3\over 1} $$

Rappresentazione di un intero come frazione

Per un numero negativo $-n$ possiamo avere le seguenti scritture equivalenti $$ -n \;=\; {-n\over 1} \;=\; {n\over -1} \;=\; -{n\over 1} $$

Ad esempio $$ -3 \;=\; {-3\over 1} \;=\; -{3\over 1} \;=\; {3\over -1} $$

Frazione irriducibile (o in forma canonica)

Una frazione $a\over b$ è detta irriducibile (o in forma canonica) se non può essere semplificata, in questo caso si dice che $a$ e $b$ sono coprimi tra loro (i.e. $\operatorname {MCD}(a,b)=1$)

Questa forma si ottiene dividendo il numeratore e il denominatore per il loro massimo comun divisore e se $b$ è negativo cambiando il segno tra numeratore e denominatore

Ad esempio $${1-9\over 1-7} \;=\; {-8\over -6} \;=\; {8\over 6} \;=\; {4\cdot\cancel{2}\over 3\cdot\cancel{2}} \;=\; {4\over3}$$

Uguaglianza

Due frazioni ${\frac {a}{b}}$ e ${\frac {c}{d}}$ sono uguali, e scriveremo ${\frac {a}{b}}={\frac {c}{d}}$ se e solo se, il prodotto incrociato è uguale, i.e. $$ ad=bc $$

Se le frazioni sono in forma canonica (semplificate), allora ${\frac {a}{b}}={\frac {c}{d}}$ se e solo se $$ a=c \quad\text{ e }\quad b=d $$

Uguaglianza

Due frazioni ${\frac {a}{b}}$ e ${\frac {c}{d}}$ sono uguali, e scriveremo ${\frac {a}{b}}={\frac {c}{d}}$ se e solo se, il prodotto incrociato è uguale, i.e. $$ ad=bc $$

Se le frazioni sono in forma canonica (semplificate), allora ${\frac {a}{b}}={\frac {c}{d}}$ se e solo se $$ a=c \quad\text{ e }\quad b=d $$

Ad esempio, per trovare il valore di $x$ affinché le seguenti due frazioni $${2\over 3} ={x\over 12}$$

siano uguali, bisogna risolvere l'equazione $$ 2\cdot 12 = 3 \cdot x \;\implies\; x= {2\cdot12\over 3} = {2\cdot 4\cdot \cancel{3}\over \cancel{3}} = 8 $$

Addizione e sottrazione

Si definisce $$ {\frac {a}{b}} \;\pm\;{\frac {c}{d}}={\frac {ad\;\pm\;bc}{bd}} $$ che va poi semplificata per portarla alla forma canonica

Addizione e sottrazione

Si definisce $$ {\frac {a}{b}} \;\pm\;{\frac {c}{d}}={\frac {ad\;\pm\;bc}{bd}} $$ che va poi semplificata per portarla alla forma canonica

Ad esempio, si ha $$ {5\over 12} + {3\over10} \;=\; {50 + 36\over 120} \;=\; {86\over 120 } \;=\; {43\cdot\cancel{2}\over 60\cdot\cancel{2}} \;=\; {43\over 60} $$

Per semplificare i calcoli si utilizza il m.c.m.

$${5\over 12} + {3\over10} \;=\; {5\over 2^2\cdot3} + {3\over 2\cdot 5} \;=\; {5\cdot 5 + 3\cdot 2\cdot 3\over 2^2\cdot3\cdot 5} \;=\; {25 + 18 \over 60} \;=\; {43\over 60}$$

Opposto

L'opposto, rispetto all'elemento neutro della addizione, relativo alla frazione $a\over b$ è definito come $$ -\left({a\over b}\right) \;=\;-{a\over b} \;=\; {-a\over b} $$

e ha la proprietà $$ {a\over b} + \left(-{a\over b}\right) \;=\; {a-a\over b} \;=\; 0 $$ dove $0={0\over 1}$ è l'elemento neutro dell'addizione

Moltiplicazione

La moltiplica tra le due frazione $\frac {a}{b}$ e $\frac {c}{d}$ è definita come $$ \frac {a}{b}\cdot \frac {c}{d} \;=\; \frac {ac}{bd} $$

Moltiplicazione

La moltiplica tra le due frazione $\frac {a}{b}$ e $\frac {c}{d}$ è definita come $$ \frac {a}{b}\cdot \frac {c}{d} \;=\; \frac {ac}{bd} $$

Di solito si usa la scomposizione in fattori primi dei numeri $a$, $b$, $c$ e $d$ per semplificare (in modo incrociato) il calcolo

Ad esempio $$ \left(-{125 \over 14}\right) \cdot \left(-{14\over 5}\right) \;=\; +{125 \over 14} \cdot {14\over 5} \;=\; {\bcancel{5} \cdot 25 \over \cancel{14}} \cdot {\cancel{14}\over \bcancel{5}} \;=\; {25\over 1} \;=\; 25 $$

Inverso

L'inverso, rispetto all'elemento neutro della moltiplicazione, della frazione $\frac {a}{b}$ è definito come $$ \left({a\over b}\right)^{-1} \;=\; {1\over \left({a\over b}\right)}\;=\;{b\over a} $$

e ha la proprietà $$ \left({a\over b}\right)^{-1} \cdot {a\over b} \;=\; {a\over b} \cdot \left({a\over b}\right)^{-1} \;=\;1 $$ dove $1={1\over 1}$ è l'elemento neutro della moltiplicazione

Divisione

La divisione tra le due frazione $\frac {a}{b}$ e $\frac {c}{d}$ è definita come $$ {\;\frac {a}{b}\;\over \;\frac {c}{d}\;} \;=\; \frac {a}{b}\cdot \left(\frac {c}{d}\right)^{-1} \;=\; \frac {a}{b}\cdot \frac {d}{c} \;=\; \frac {ad}{bc} $$

Divisione

La divisione tra le due frazione $\frac {a}{b}$ e $\frac {c}{d}$ è definita come $$ {\;\frac {a}{b}\;\over \;\frac {c}{d}\;} \;=\; \frac {a}{b}\div \frac {c}{d} \;=\; \frac {a}{b}\cdot \left(\frac {d}{c}\right)^{-1} \;=\; \frac {a}{b}\cdot \frac {d}{c} \;=\; \frac {ad}{bc} $$

Di solito si usa la scomposizione in fattori primi dei numeri $a$, $b$, $c$ e $d$ per semplificare (in modo incrociato) il calcolo

Ad esempio $$ {{125 \over 8} \over {5\over 12}} \;=\; {125 \over 8} \cdot {12\over 5} \;=\; {\bcancel{5} \cdot 25 \over \cancel{4}\cdot 2} \cdot {\cancel{4}\cdot 3\over \bcancel{5}} \;=\; {75\over 2} $$

Ordinamento

Date due frazioni $\frac {a}{b}$ e $\frac {c}{d}$ in forma canonica (e quindi con denominatore positivo), si ha che $$ \frac {a}{b}<\frac {c}{d} $$ se

$$ad<bc$$

Ad esempio $$ -{2\over3} < -{1\over 6} $$ perché $-12<-3$

Ordinamento

Analogamente si poteva ragionare portando allo stesso denominatore le due frazioni $$ -{2\over3} < -{1\over 6} \;\Longleftrightarrow\; -{2\cdot 2\over3\cdot 2} < -{1\over 6} $$ perché $$-{2\cdot 2\over\cancel{3\cdot 2}} \cdot \cancel{6}<-1\cdot -{1\over \cancel{6}}\cancel{6} \;\Longleftrightarrow\; -4<-1$$

Potenza con esponente intero

Per quanto riguarda le potenze abbiamo $$ \left({\frac {a}{b}}\right)^{n}=\frac {a^{n}}{b^{n}} $$

. . .

$$\left({\frac {a}{b}}\right)^{0}=1$$

. . .

Se $a\ne0$ si ha $$ \left({\frac {a}{b}}\right)^{-n}={\frac {b^{n}}{a^{n}}} $$

Esempio

Semplificare la seguente espressione $${\left(6-4\cdot{1\over 2}\right)\cdot {3\over 100}\over \left(6\cdot{1\over 40}-{53\over 20}\right)\cdot 4-{1\over 5}}$$

Soluzione

$$ \begin{gathered} {\left(6-4\cdot{1\over 2}\right)\cdot {3\over 100}\over \left(6\cdot{1\over 40}-{53\over 20}\right)\cdot 4-{1\over 5}} \;=\; {\left(6-2\right)\cdot {3\over 100}\over \left({3\over 20}-{53\over 20}\right)\cdot 4-{1\over 5}} \;=\; {4\cdot {3\over 100}\over \left(-{50\over 20}\right)\cdot 4-{1\over 5}}\\ \;=\; {{3\over 25}\over -{50\over 5}-{1\over 5}} \;=\; {{3\over 25}\over -{51\over 5}} \;=\; -{3\over 25}\cdot {5\over 51} \\ \;=\; -{\cancel{3}\over \cancel{5}\cdot 5}\cdot {\cancel{5}\over 17\cdot \cancel{3}} \;=\; -{1\over 5\cdot 17} \;=\; -{1\over 85} \end{gathered} $$

Proprietà dello scomporre

Dimostrare che se $$a:b=c:d$$ allora $$(a-c):(b-d)=a:b \quad(=c:d)$$ se $b\ne d$ (altrimenti sarebbe anche $a=c$ e avrei il caso $0\over 0$)

Scrivere $a:b$ è uguale a scrivere $a/b$ o ${a\over b}$

Proprietà dello scomporre

Soluzione

L'idea della dimostrazione è la seguente:

• partiamo dalla frazione $(a-c):(b-d)$
• dividiamo numeratore e denominatore per $b$
• sfruttiamo l'ipotesi ${a\over b}={c\over d}$
• raccogliamo i fattori comuni e poi semplifichiamo l'espressione

$$ \begin{aligned} (a-c):(b-d)\;=\; {a-c\over b-d} &=\; {{a-c\over b}\over {b-d\over b}}\;=\; {{a\over b}-{c\over b}\over {b-d\over b}}\;=\;{{c\over d}-{c\over b}\over {b-d\over b}}\\ &=\;c{{1\over d}-{1\over b}\over {b-d\over b}}\;=\;c{{\cancel{b-d}\over \bcancel{b}d}\over {{\cancel{b-d}}\over \bcancel{b}}}\;=\; {c\over d} \end{aligned} $$

Esempio con lo scomporre

In un triangolo la differenza tra la base e l'altezza è $4\,\operatorname{cm}$ e la base è $\frac{3}{2}$ dell'altezza. Calcolare la base e l'altezza.

Soluzione

Scriviamo la proporzione tra base e altezza $$ b : h \;=\; 3 : 2 $$ e il vincolo tra i due $$ b-h=4 $$

Esempio con lo scomporre

Applicando lo scomporre a $b : h \;=\; 3 : 2$ si ha $$ (b-h) : h \;=\; (3-2) : 2 $$

e inserendo il vincolo $b-h=4$ otteniamo $$ 4 : h \;=\; (3-2) : 2 $$

da cui $$ h \;=\; {4\times 2 \over 1} \;=\; 8 $$

e di conseguenza $$ b \;=\; h+4 \;=\; 8+4 \;=\; 12 $$

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