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Composizione grafica di funzioni

Obiettivo (corso Analisi Matematica 1)

  • Composizione di funzioni per via grafica
  • Traslazione lungo y
  • Opposto
  • Parte pari e parte dispari
  • Traslazione lungo x
  • Traslazione con ribaltamento lungo x
  • Valore assoluto di una funzione
  • Reciproco
  • VIDEO
  • PDF

    • Composizione di funzioni per via grafica

    Obiettivo:A partire dal grafico $f(x)$ dedurre il grafico di $F(x)$ dove $F$ è una funzione che deriva da $f$ attraverso "una trasformazione elementare"

    Da $f(x)$ a :

    • $F(x)=f(x)+c$
    • $F(x)=-f(x)$
    • $F(x)=f(-x)$
    • $F(x)=-f(-x)$
    • $F(x)=f(x-a)$
    • $F(x)=f(a-x)$
    • $F(x)=|f(x)|$
    • $F(x)={1\over f(x)}$

    Notazione

    • $x$, $y$ le variabili di partenza relative alla funzione $y=f(x)$
    • $X$, $Y$ le variabili di destinazione relative alla funzione trasformata $Y=F(X)$

    Obiettivo: come le variabili di destinazione sono legate alle variabili di partenza


    Funzione di esempio


    Caso (traslazione lungo y): $F(x)=f(x)+c$

    Da $$(X,Y) = (X, F(X)) = (x, f(x)+c) = (x, y+c)$$ si ha

    $$\begin{aligned} X&=x \\ Y&=y+c \end{aligned}$$

    Stessi valori delle $X=x$ ma $Y=y+c$ (sommo $c$ a $y$)

    • Se $c>0$ è una traslazione verso l'alto
    • Se $c<0$ è una traslazione verso il basso

    Esempio


    Caso (opposto): $F(x)=-f(x)$

    Da $$(X,Y) = (X, F(X)) = (x, -f(x)) = (x, -y)$$ si ha

    $$\begin{aligned} X&=x \\ Y&=-y \end{aligned}$$

    Stessi valori delle $X=x$ ma $Y=-y$ opposti, i.e. è speculare rispetto all'asse $x$


    Esempio


    Caso (parte pari): $F(x)=f(-x)$

    Da $$(X,Y) = (X, F(X)) = (-x, f(x)) = (-x, y)$$ si ha

    $$\begin{aligned} X&=-x \\ Y&=y \end{aligned}$$

    Valori opposti della $X=-x$ ma stessi valori della $Y=y$, i.e. è speculare rispetto all'asse $y$


    Esempio


    Caso (parte dispari): $F(x)=-f(-x)$

    Da $$(X,Y) = (X, F(X)) = (-x, -f(x)) = (-x, -y)$$ si ha

    $$\begin{aligned} X&=-x \\ Y&=-y \end{aligned}$$

    Valori opposti della $X=-x$ e della $Y=-y$, i.e. è speculare rispetto all'asse $y$ e $x$


    Esempio


    Caso (traslazione lungo x): $F(x)=f(x-a)$

    Da $$(X,Y) = (X, F(X)) = (x-a, f(x)) = (x-a, y)$$ si ha

    $$\begin{aligned} X&=x-a \\ Y&=y \end{aligned}$$

    Traslazione di $-a$ al valore della $x$ (lo zero di $X$, i.e. $X=0$ è il punto $x=a$)

    • Se $a<0$ traslazione all'indietro
    • Se $a>0$ traslazione in avanti

    Esempio $a=1$


    Esempio $a=-1$

    Caso (traslazione con ribaltamento lungo x): $F(x)=f(a-x)$

    Da $$(X,Y) = (X, F(X)) = (a-x, f(x)) = (a-x, y)$$ si ha

    $$\begin{aligned} X&=a-x \\ Y&=y \end{aligned}$$

    Il valore della $X$ si ottiene traslando di $a$ il valore opposto della $x$


    Esempio $a=1$


    Caso (valore assoluto): $F(x)=|f(x)|$

    Da $$(X,Y) = (X, F(X)) = (x, |f(x)|) = (x, |y|)$$ si ha

    $$\begin{aligned} X&=x \\ Y&=|y| \end{aligned}$$

    Stessi valori delle $X=x$ ma $Y=|y|$ (sempre positiva). Dove la funzione $f(x)<0$ va specchiata rispetto a $x$


    Esempio


    Caso (reciproco): $F(x)={1\over f(x)}$

    Da $$(X,Y) = (X, F(X)) = \left(x, {1\over f(x)}\right) = \left(x, {1\over y}\right)$$ si ha

    $$\begin{aligned} X&=x \\ Y&={1\over y} \end{aligned}$$

    Stessi valori delle $X=x$ ma $Y={1\over y}$ reciproci. Dove la $y\to0$ la funzione tende $Y\to\infty$


    Esempio


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