Esponenziale complesso e sue proprietà

Obiettivo (corso Analisi Matematica 1)

• Esponenziale complesso e relative proprietà
• Definizione del seno e coseno

Esponenziale complesso

Definizione

Partendo dalla formula di Eulero $$ e^{i\theta} \;=\; \cos{\theta} + i\sin{\theta} \;=\: \operatorname{cis}\left(\theta\right) $$ possiamo dare la definizione di esponenziale complesso come $$ e^{z} = e^{a+bi} \;=\; e^{a} \cdot e^{bi} \;=\; e^{a} \cdot \operatorname{cis}\left(b\right)\;=\; e^{a} \cdot \left(\cos{b}+i\sin{b}\right) $$

Se $b=0$ si ha l'esponenziale reale $e^{x}$

Nota: In realtà si parte dal definire l'esponenziale complesso come serie (funzione analitica) e poi si sviluppa tutta la teoria

Proprietà

1. $e^{0} \;=\; 1$
2. $e^{z} \;\neq\; 0$
3. $e^{z+w} \;=\; e^{z}e^{w}$
4. $\left(e^{z}\right)^{n}\;=\;e^{n z}$, $\;n\in \mathbb{Z}$
5. $\overline{e^{z}} \;=\;e^{\overline{z}}$
6. $e^{z + 2\pi i} \;=\; e^{z}\quad$ (periodicità)

Dimostrazione delle proprietà

Proprietà 1

Dimostrare che $e^{0} \;=\; 1$

Dimostrazione

$$ e^{0} \;=\; e^{0+0i} \;=\; e^{0} \cdot \operatorname{cis}\left(0\right)\;=\; e^{0} \cdot \left(\cos{0}+i\sin{0}\right) \;=\; 1 \cdot 1 \;=\; 1 $$

Proprietà 2

Dimostrare che $e^{z} \;\neq\; 0$

Dimostrazione

L'equazione $$ e^{z} = 0 \;\Longleftrightarrow\; e^{a+bi} = 0 \;\Longleftrightarrow\; \overbrace{\cancel{e^{a}}}^{\ne0} \cdot \operatorname{cis}\left(b\right) = 0 \;\Longleftrightarrow\; \cos{b}+i\sin{b} = 0 $$ corrisponde a risolvere il sistema $$ \begin{cases} \cos{b} = 0\\ \sin{b} = 0 \end{cases} $$ che non ha soluzione

Proprietà 3

Dimostrare che $e^{z+w} \;=\; e^{z}e^{w}$

Dimostrazione

Sia $z = a+bi$ e $w=c+di$, allora $$ \begin{aligned} e^{z+w} &= e^{(a+c)+(b+d)i} \\ &= e^{a+c} \cdot \operatorname{cis}\left(b+d\right) \\ &= e^{a} \cdot e^{c} \cdot \left[\cos{b}\cos{d} - \sin{b}\sin{d} + i \left(\sin{b}\cos{d} + \cos{b}\sin{d}\right)\right] \\ &= e^{a} \cdot e^{c} \cdot \left[\left(\cos{b}+i\sin{b}\right)\cos{d} +i \left(\cos{b}+i\sin{b}\right)\sin{d}\right] \\ &= e^{a} \cdot e^{c} \cdot \left[\left(\cos{b}+i\sin{b}\right)(\cos{d} +i \sin{d})\right] \\ &= e^{a} \cdot \operatorname{cis}\left(b\right) \cdot e^{c} \cdot \operatorname{cis}\left(d\right) \\ &= e^{z} \cdot e^{w} \end{aligned} $$

Proprietà 4

Dimostrare che $\left(e^{z}\right)^{n}\;=\;e^{n z}$, $\;n\in \mathbb{Z}$

Dimostrazione

Sia $z = a+bi$ allora $$ \begin{aligned} \left(e^{z}\right)^{n} &= \left(e^{a+bi}\right)^{n} = \left[e^{a} \cdot \operatorname{cis}\left(b\right) \right]^{n} \\ &= \left(e^{a}\right)^{n} \cdot \left(\operatorname{cis}\left(b\right)\right)^{n} \\ &\color{white}{\text{(dalla rappr. trigonometrica)}} \\ &= e^{na} \cdot \operatorname{cis}\left(nb\right) \\ &= e^{na} \cdot e^{inb} \\ &= e^{na + inb} \\ &= e^{n(a + bi)} = e^{n z} \end{aligned} $$

Proprietà 5

Dimostrare che $\overline{e^{z}} \;=\; e^{\overline{z}}$

Dimostrazione

Si ha $$ \begin{aligned} \overline{e^{z}} &= \overline{e^{a+bi}} \\ &= \overline{e^{a}} \cdot \overline{e^{bi}} \\ &= e^{a} \cdot \left(\overline{\cos{b}+i\sin{b}}\right) \\ &= e^{a} \cdot \left(\cos{b}-i\sin{b}\right) \\ &= e^{a} \cdot \left(\cos{(-b)}+i\sin{(-b)}\right) \\ &= e^{a-bi} = e^{\overline{z}} \end{aligned} $$

Proprietà 6

Dimostrare che $e^{z + 2\pi i} \;=\; e^{z}$, cioè la funzione è periodica di periodo $2\pi i$

Dimostrazione

$$ e^{z + 2\pi i} \;=\; e^{z} \cdot e^{2\pi i} \;=\; e^{z} \cdot 1 \;=\; e^{z} $$

Definizione del seno e coseno

Dimostrare che (connessione dell'esponenziale complesso con le funzioni trigonometriche) $$\cos{\theta} \;=\; {e^{i\theta}+e^{-i\theta}\over 2}\quad,\quad \sin{\theta} \;=\; {e^{i\theta}-e^{-i\theta}\over 2i}$$

Dimostrazione

Da

si ha

$$ \begin{aligned} \color{white}{\text{(Sommando) }} \quad& e^{i\theta}+e^{-i\theta} = 2\cos{\theta} \;\implies\; \cos{\theta} = {e^{i\theta}+e^{-i\theta}\over 2}\\ \color{white}{\text{(Sottraendo) }} \quad & e^{i\theta}-e^{-i\theta} = 2i\sin{\theta} \;\implies\; \sin{\theta} = {e^{i\theta}-e^{-i\theta}\over 2i}\\ \end{aligned} $$

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