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I numeri naturali

Obiettivo (corso Analisi Matematica 1)

  • Ripasso sui numeri naturali
  • Numeri primi
  • Teorema fondamentale dell'aritmetica
  • Criteri di divisibilità
  • Esempi
  • VIDEO
  • PDF

    • Gli insiemi numerici

    • Naturali:

    $$\mathbb{N} \;=\; \left\{0,\ 1,\ 2,\ \ldots\ \right\}$$

    • Interi o relativi:

    $$\mathbb{Z} \;=\; \left\{0,\ \pm1,\ \pm2,\ \ldots\ \right\}$$

    • Razionali:

    $$\mathbb{Q} \;=\; \left\{r={p\over q} \colon\ p\in\mathbb{Z},\ q\in\mathbb{Z},\ q\ne0 \right\}$$

    • Reali:

    $$\mathbb{R} \;=\; \left\{\text{razionali e irrazionali}\right\}$$


    Relazione di inclusione

    $$\mathbb{N}\subset \mathbb{Z}\subset \mathbb{Q}\subset \mathbb{R}$$


    I numeri naturali

    \(\mathbb{N} \;=\; \left\{0,\ 1,\ 2,\ \ldots\ \right\}\)

    • Operazioni ben definite (il risultato sta in \(\mathbb{N}\)):
      • somma e prodotto
    • \(\mathbb{N}^{+} = \{1,\ 2,\ \ldots\ \} = \{n\in\mathbb{N} \colon\ n>0\}\)
    • Ordinamento sulla retta


    Numeri primi

    Un numero naturale viene detto primo se è divisibile solo per \(1\) e per se stesso
    (ha solo due divisori distinti)

    Ad esempio i primi 10 primi sono: \(2,\ 3,\ 5,\ 7,\ 11,\ 13,\ 17,\ 19,\ 23,\ 29\)

    Ad esempio, \(6\) non è primo perché è divisibile per \(1,\ 2,\ 3,\ 6\)


    Teorema fondamentale dell'aritmetica

    Ogni numero naturale \(n\) maggiore di \(1\) può essere scritto in modo unico (a parte l'ordine) come prodotto di fattori primi \(p_i\) elevati alla potenza \(n_i\), i.e. $$n=p_{1}^{n_{1}}\ \cdot\ p_{2}^{n_{2}}\ \cdot\ \ldots\ \cdot\ p_i^{n_i}\cdot\ \ldots\ \cdot\ p_{k}^{n_{k}}$$

    Ad esempio \(792 = 2^3\times 3^2 \times 11\)


    Notazione

    • "\(\times\)" e "\(\div\)" quando si eseguono dei calcoli in aritmetica


    • "\(\cdot\)" o "\(/\)" in tutti gli altri casi (es. calcolo letterale)

    Criteri di divisibilità

    Scopo: aiutano a fattorizzare un numero in fattori primi

    • Divisibile per 2: ultima cifra decimale è pari (i.e. \(0\), \(2\), \(4\), \(6\), \(8\))

    Ad esempio sono divisibili per \(2\): $$4,\ 8,\ 44,\ 26,\ 18,\ 10$$

  • divisibile per 3: somma di tutte le sue cifre è divisibile per \(3\) e se la somma è maggiore di 9, si esegue nuovamente tale operazione

    • Ad esempio sono divisibili per \(3\): $$6,\ 9,\ 12,\ 123,\ 111,\ 66$$

  • divisibile per 5: ultima cifra è 0 oppure 5

    • Ad esempio sono divisibili per \(5\):

    $$25,\ 125,\ 625,\ 10,\ 20,\ 100$$


  • divisibile per 10: ultima cifra è 0

    • Ad esempio sono divisibili per \(10\):

    $$10,\ 100,\ 1000,\ 20,\ 30,\ 150$$


    Esempio: fattorizzazione di \(792\)

    • \(792\) è pari e quindi divisibile per \(2\), i.e. \(792 = 2 \times 396\)
    • \(396\) è divisibile per \(3\), i.e. \(396 = 3\times 132\)
    • \(132\) è pari e quindi divisibile per \(2\), i.e. \(132= 2\times 66\)
    • \(66\) è divisibile per \(3\), i.e. \(66 = 3\times 22\)
    • \(22\) è pari e quindi divisibile per \(2\), i.e. \(22= 2 \times 11\)
    • \(11\) è primo

    $$\begin{aligned} 792 &=\; 2 \times 3 \times 2 \times 3 \times 2 \times 11 \\ &=\; (2 \times 2 \times 2) \ \times\ (3 \times 3) \ \times\ 11\\ &=\; 2^3\times 3^2 \times 11 \end{aligned}$$


    Esercizio

    Calcolare il fattorizzazione in numeri primi di \(12\), \(280\) e \(900\)

    Soluzione

    • \(12\;=\;4\times 3 \;=\; 2^2\times 3\)
    • \(280\;=\; 28 \times 10 \;=\; (7\times4) \times (5\times2) \;=\;2^3\times 5\times 7\)
    • \(900\;=\; 9 \times 100 \;=\; 9 \times (25\times4) \;=\; 2^2\times 3^2 \times 5^2\)

    Due parole sui numeri primi

    • Sono infiniti
    • Sono usati nella moderna crittografia dove vengono utilizzate come chiavi dei numeri interi la cui fattorizzazione in numeri primi (molto grandi) non sia calcolabile in tempi ragionevoli
    • Ipotesi di Riemann: dimostrare se questa congettura è vera oppure no avrebbe implicazioni nella distribuzione dei numeri primi e quindi facilitare il calcolo della fattorizzazione utilizzata negli algoritmi di crittografia
    • Il famoso bug nell'unità FPU del Pentium (anno '94) dove il processore matematico restituiva risultati errati in alcuni calcoli in virgola mobile è stato scoperto dal prof. Thomas Nicely durante le sue ricerche sui numeri primi (gemelli) con la divisione \( 1/824633702441 \) dove \(824633702441\) è un numero primo

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